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初高中的公式复习#

考研中不需要你去解复杂的三角迷宫，但以下几组核心公式必须形成肌肉记忆，它们是积分化简的核心工具：

平方关系： $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

倍角公式：

和差化积与积化和差：

处理线性组合（辅助角公式）：

导数#

$\tan{x}$的导数是走近扩展三角函数的起点

$(\tan x)' = \sec^2 x$

至于怎么起，下一章再说

什么叫sinx的导数是什么

泰勒展开#

在求极限时，单纯的等价无穷小（如 $x \to 0$ 时 $\sin x \sim x$）往往不够用。以下是必须背诵的麦克劳林展开式：

• 注意 $\tan x$ 的系数规律性不强，建议手推或死记到三阶即可。五阶应用场景就很少见了。
• 另外，sinx和cosx的无限推导虽然很好记，但不要忘了阶乘就行

定义#

定义非常简单，就是普通三角函数的倒数，有同样的周期性。

反扩展三角函数可以写成如下形式

从 $d(\tan x) = \sec^2 x dx$ 开始#

很多同学对 $\sec x$（正割）感到陌生，但我们在积分中遇到它其实非常友好。因为 $(\tan x)' = \sec^2 x$，这意味着在积分式中，只要你凑出了 $\sec^2 x dx$，就可以直接将其打包变成 $d(\tan x)$。这种微分的联动，是解决许多复杂三角积分的突破口。

同时，由 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ 两边同除 $\cos^2 x$，我们能得到扩展三角函数最重要的恒等式： $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ 同时，此处提及$\sec x$的导数： $(\sec x)' = \sec x \tan x$ 这在分部积分中经常作为基础元件出现，因为这是普通三角函数和扩展三角函数的关联入口。

处理积分中的 $x^2-1$ 与 $x^2+1$#

在不定积分和定积分中，当被积函数含有根号下的二次多项式时，三角代换是标准解法。

1. 遇到 $\sqrt{x^2+1}$ : 使用正切代换

令 $x = \tan t$，则 $dx = \sec^2 t dt$。此时 $\sqrt{x^2+1} = \sqrt{\tan^2 t + 1} = \sec t$。

例题： 求 $\int \frac{1}{(x^2+1)^{3/2}} dx$

2. 遇到 $\sqrt{x^2-1}$ : 使用正割代换

令 $x = \sec t$，则 $dx = \sec t \tan t dt$。此时 $\sqrt{x^2-1} = \sqrt{\sec^2 t - 1} = \tan t$。

例题： 求 $\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x} dx$

结果：$\sqrt{x^2-1} - \arccos\frac{1}{x} + C$。读者自证不难。

NOTE

定义说过，$\operatorname{arcsec}{x} = \arccos{\frac{1}{x}}$。或者用反函数定义互相捯饬一下不难。

另外两个兄弟#

除了 $\sec x$，还有 $\csc x = \frac{1}{\sin x}$（余割）和 $\cot x = \frac{1}{\tan x}$（余切）。在数二的考纲和历年真题中，它们出现的频率极低。你只需要知道它们的存在，以及 $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$ 这个关系即可，无需花费大量精力死磕。其基本逻辑其实和$\sin^2x+\cos^2x=1$，$\tan^2x+1=\sec^2x$是三面对称的，有兴趣可以自行探索

仍然是不重要的#

泰勒展开： 几乎不会考 $\sec x$ 等扩展三角函数的泰勒展开。如果真在极限题中遇到，千万不要去背它们复杂的展开式，现场利用等价代换（如 $\sec x = \frac{1}{\cos x}$，再用 $\cos x$ 的泰勒展开做除法或广义二项式展开）即可手推。

反扩展三角函数： 虽然理论上存在 $\text{arcsec} x$ 等反扩展三角函数，但遇到需要回代的情况，通常可以用 $\arccos\frac{1}{x}$ 这种形式绕过去。

导数：只要你不主动用$\csc x$和$\cot x$，就几乎都能用倒数糊弄过去。

导数和基本公式#

反三角函数的导数公式是没有根号和有根号的分水岭，积分时如果看到分母有 $x^2+1$ 或 $\sqrt{1-x^2}$，要立刻条件反射想到：

利用图像的对称性，有两个恒等式在化简时能起到奇效： $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ $\arctan x + \text{arccot} x = \frac{\pi}{2}$

泰勒#

反三角函数的泰勒展开中，$\arctan x$ 是绝对的重点。它不仅在求极限时大有用处，其特殊形式还与圆周率 $\pi$ 的计算紧密相连。 $x\to0\,,\,\,\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + o(x^7)$

拓展小知识： 如果令 $x = 1$，由于 $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$，我们就得到了著名的莱布尼茨公式计算 $\pi$：$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots$

至于 $\arcsin x$ 的泰勒展开较为复杂（包含双阶乘），只需知道 $x \to 0$ 时 $\arcsin x \sim x$ 即可。

图像及性质#

• $\arcsin x$： 定义域 $[-1, 1]$，值域 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。奇函数，单调递增。

• $\arccos x$： 定义域 $[-1, 1]$，值域 $[0, \pi]$。非奇非偶函数，单调递减。

• $\arctan x$： 定义域 $(-\infty, +\infty)$，值域 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$。奇函数，单调递增。注意其水平渐近线： $x \to +\infty$ 时 $y \to \frac{\pi}{2}$；$x \to -\infty$ 时 $y \to -\frac{\pi}{2}$。

定义#

双曲函数本质上是指数函数 $e^x$ 与 $e^{-x}$ 的线性组合，它们之所以被称为“双曲”，是因为它们的参数方程构成的是双曲线 $x^2 - y^2 = 1$，而不是圆。

双曲正弦： $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

双曲余弦： $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

双曲正切： $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

核心恒等式（对应三角的 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$）： $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ 注意中间是减号，这意味着 $\sqrt{x^2+1}$ 如果用 $x = \sinh t$ 代换，直接就变成了 $\sqrt{\sinh^2 t + 1} = \cosh t$。

反函数（*重要，不背没法用）#

如果你能记住反双曲函数的对数表达形式，很多带根号的复杂积分公式就再也不用死记硬背了。

• 反双曲正弦： $\text{arsinh} x = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$

• 反双曲余弦： $\text{arcosh} x = \ln(x + \sqrt{x^2-1})$ （$x \ge 1$）

导数和基本公式#

双曲函数的求导比三角函数舒适得多，因为没有负号交替：

• $(\sinh x)' = \cosh x$
• $(\cosh x)' = \sinh x$

另外，普通三角函数和双曲函数有一点微妙的关系

例子#

1. 回到开头的积分 $I=\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx$：

一步到位，同理，$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} dx$ 令 $x = \cosh t$ 也能瞬间得出 $\ln|x + \sqrt{x^2-1}| + C$。

2. 来一道上一个笔记里镇楼的题：$I=\int \sqrt{x^2 - 1} dx$

双曲，爽！

图像及性质#

$\sinh x$：奇函数，穿过原点，形状类似 $y=x^3$ 但增长极快（因为是指数级）。单调递增。

$\cosh x$：偶函数，图像像一条悬垂的铁链（悬链线），最低点在 $(0, 1)$。在 $x>0$ 单调递增。

$\tanh x$：奇函数，被夹在 $y=-1$ 和 $y=1$ 两条水平渐近线之间，形状类似 $\arctan x$。