【学习笔记】数学笔记其二 · 三角函数

序：关于整个三角函数及双曲函数的宏观视界

在考研体系中，三角函数并不是一个孤立的章节，而是像一个高中知识一样贯穿于极限、导数、积分与微分方程的始终。很多同学（包括曾经的我和现在的我）计算瓶颈，往往是因为底层的三角变形不熟练。这些三角函数也是高中不教大学不教的典型例子。

普通三角函数#

这一部分是所有复杂微积分操作的基石，主要考察的是在求极限时的等价代换，以及在求积分时的恒等变形。

初高中的公式复习#

考研中不需要你去解复杂的三角迷宫，但以下几组核心公式必须形成肌肉记忆，它们是积分化简的核心工具：

平方关系： $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

倍角公式：

\begin{align*} &\sin(2x) = 2\sin x\cos x \\ &\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x \\ &\sin^2 (2x) = \frac{1-\cos{x}}{2} \\ &\cos^2 (2x) = \frac{1+\cos{x}}{2} \end{align*}

和差化积与积化和差：

\begin{align*} &\sin x \cos y = \frac{1}{2}[\sin(x+y) + \sin(x-y)] \\ &\cos x \cos y = \frac{1}{2}[\cos(x+y) + \cos(x-y)] \end{align*}

处理线性组合（辅助角公式）：

\begin{align*} &a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi) \\ &\tan\varphi = \frac{b}{a} \end{align*}

导数#

$\tan{x}$ 的导数是走近扩展三角函数的起点

$(\tan x)' = \sec^2 x$

至于怎么起，下一章再说

~~什么叫sinx的导数是什么~~

泰勒展开#

在求极限时，单纯的等价无穷小（如 $x \to 0$ 时 $\sin x \sim x$ ）往往不够用。以下是必须背诵的麦克劳林展开式：

\begin{align*} &\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - o(x^5) \\ &\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - o(x^4) \\ &\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^5) \end{align*}

注意 $\tan x$ 的系数规律性不强，建议手推或死记到三阶即可。五阶应用场景就很少见了。
另外，sinx和cosx的无限推导虽然很好记，但不要忘了阶乘就行

扩展三角函数#

定义#

定义非常简单，就是普通三角函数的倒数，有同样的周期性。

\begin{align*} \csc{x} &= \frac{1}{\sin{x}} \quad (\sin{x} \neq 0) \\ \sec{x} &= \frac{1}{\cos{x}} \quad (\cos{x} \neq 0) \\ \cot{x} &= \frac{1}{\tan{x}} = \frac{\cos{x}}{\sin{x}} \quad (\sin{x} \neq 0, \tan{x} \neq 0) \end{align*}

反扩展三角函数可以写成如下形式

\begin{align*} \operatorname{arccsc}{x} &= \arcsin{\frac{1}{x}} \quad (x \neq 0) \\ \operatorname{arcsec}{x} &= \arccos{\frac{1}{x}} \quad (x \neq 0) \\ \operatorname{arccot}{x} &= \arctan{\frac{1}{x}} = \frac{\pi}{2} - \arctan{x} \quad (x \neq 0) \end{align*}

从 $d(\tan x) = \sec^2 x dx$ 开始#

很多同学对 $\sec x$ （正割）感到陌生，但我们在积分中遇到它其实非常友好。因为 $(\tan x)' = \sec^2 x$ ，这意味着在积分式中，只要你凑出了 $\sec^2 x dx$ ，就可以直接将其打包变成 $d(\tan x)$ 。这种微分的联动，是解决许多复杂三角积分的突破口。

同时，由 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ 两边同除 $\cos^2 x$ ，我们能得到扩展三角函数最重要的恒等式： $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ 同时，此处提及 $\sec x$ 的导数： $(\sec x)' = \sec x \tan x$ 这在分部积分中经常作为基础元件出现，因为这是普通三角函数和扩展三角函数的关联入口。

处理积分中的 $x^2-1$ 与 $x^2+1$ #

在不定积分和定积分中，当被积函数含有根号下的二次多项式时，三角代换是标准解法。

1. 遇到 $\sqrt{x^2+1}$ : 使用正切代换

令 $x = \tan t$ ，则 $dx = \sec^2 t dt$ 。此时 $\sqrt{x^2+1} = \sqrt{\tan^2 t + 1} = \sec t$ 。

例题： 求 $\int \frac{1}{(x^2+1)^{3/2}} dx$

\begin{align*} &\text{令}x = \tan t,\,dx = \sec^2 t dt \\ &\text{原式} = \int \frac{\sec^2 t dt}{(\sec^2 t)^{3/2}} = \int \frac{\sec^2 t}{\sec^3 t} dt = \int \cos t dt = \sin t + C \\ &\text{有直角三角形中} \tan{t}=x=\frac{x}{1},\text{斜边为}\sqrt{x^2+1} \\ &\text{故}\sin t = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \\ &\text{代回得原式}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} + C \end{align*}

2. 遇到 $\sqrt{x^2-1}$ : 使用正割代换

令 $x = \sec t$ ，则 $dx = \sec t \tan t dt$ 。此时 $\sqrt{x^2-1} = \sqrt{\sec^2 t - 1} = \tan t$ 。

例题： 求 $\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x} dx$

结果： $\sqrt{x^2-1} - \arccos\frac{1}{x} + C$ 。读者自证不难。

NOTE
定义说过， $\operatorname{arcsec}{x} = \arccos{\frac{1}{x}}$ 。或者用反函数定义互相捯饬一下不难。

另外两个兄弟#

除了 $\sec x$ ，还有 $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ （余割）和 $\cot x = \frac{1}{\tan x}$ （余切）。在数二的考纲和历年真题中，它们出现的频率极低。你只需要知道它们的存在，以及 $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$ 这个关系即可，无需花费大量精力死磕。其基本逻辑其实和 $\sin^2x+\cos^2x=1$ ， $\tan^2x+1=\sec^2x$ 是三面对称的，有兴趣可以自行探索

仍然是不重要的#

泰勒展开： 几乎不会考 $\sec x$ 等扩展三角函数的泰勒展开。如果真在极限题中遇到，千万不要去背它们复杂的展开式，现场利用等价代换（如 $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ ，再用 $\cos x$ 的泰勒展开做除法或广义二项式展开）即可手推。

反扩展三角函数： 虽然理论上存在 $\text{arcsec} x$ 等反扩展三角函数，但遇到需要回代的情况，通常可以用 $\arccos\frac{1}{x}$ 这种形式绕过去。

导数：只要你不主动用 $\csc x$ 和 $\cot x$ ，就几乎都能用倒数糊弄过去。

反三角函数#

反三角函数在考研中极其重要，AI总结了几个尤其，但我觉得它在哪都很重要，出现率和三角函数相当。一大原因是它的导数形式很适合到处塞。

导数和基本公式#

反三角函数的导数公式是没有根号和有根号的分水岭，积分时如果看到分母有 $x^2+1$ 或 $\sqrt{1-x^2}$ ，要立刻条件反射想到：

函数	导数	对应积分常考形式
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \arcsin\frac{x}{a} + C$
$\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	（考得少，因为可以用 $\arcsin$ 加负号代替）
$\arctan x$	$\frac{1}{1+x^2}$	$\int \frac{1}{a^2+x^2} dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$

利用图像的对称性，有两个恒等式在化简时能起到奇效： $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ $\arctan x + \text{arccot} x = \frac{\pi}{2}$

泰勒#

反三角函数的泰勒展开中， $\arctan x$ 是绝对的重点。它不仅在求极限时大有用处，其特殊形式还与圆周率 $\pi$ 的计算紧密相连。 $x\to0\,,\,\,\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + o(x^7)$

小拓展： 如果令 $x = 1$ ，由于 $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$ ，我们就得到了著名的莱布尼茨公式计算 $\pi$ ： $\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots$

至于 $\arcsin x$ 的泰勒展开较为复杂（包含双阶乘），只需知道 $x \to 0$ 时 $\arcsin x \sim x$ 即可。

图像及性质#

$\arcsin x$ ： 定义域 $[-1, 1]$ ，值域 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 。奇函数，单调递增。
$\arccos x$ ： 定义域 $[-1, 1]$ ，值域 $[0, \pi]$ 。非奇非偶函数，单调递减。
$\arctan x$ ： 定义域 $(-\infty, +\infty)$ ，值域 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 。奇函数，单调递增。注意其水平渐近线： $x \to +\infty$ 时 $y \to \frac{\pi}{2}$ ； $x \to -\infty$ 时 $y \to -\frac{\pi}{2}$ 。

双曲函数#

前言说明： 双曲函数在数二的大纲中并不是硬性要求的核心考点，你完全可以用普通三角函数的知识覆盖它。但是，对于学有余力、想要在积分计算上追求速度和准确率的同学来说，双曲函数是一个非常值得扩展的外挂。和高考不同，只要不跳步太多或者太二级结论，一般不会出现超纲解法扣分的情况。

让我们从一道经典的难题入题：求解 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx$

我们前面讲过，令 $x = \tan t$ ，原式化为 $\int \sec t dt$ 。这个积分的结果是 $\ln|\sec t + \tan t| + C$ 。最后回代，得到 $\ln(x + \sqrt{x^2+1}) + C$ 。过程较为繁琐，且需要背诵 $\sec t$ 的积分。

如果引入双曲函数，这道题的推导将变成简单的多项式级别的操作。下面我们来看看这个武器的真面目。

定义#

双曲函数本质上是指数函数 $e^x$ 与 $e^{-x}$ 的线性组合，它们之所以被称为“双曲”，是因为它们的参数方程构成的是双曲线 $x^2 - y^2 = 1$ ，而不是圆。

双曲正弦： $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

双曲余弦： $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

双曲正切： $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

核心恒等式（对应三角的 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ ）： $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ 注意中间是减号，这意味着 $\sqrt{x^2+1}$ 如果用 $x = \sinh t$ 代换，直接就变成了 $\sqrt{\sinh^2 t + 1} = \cosh t$ 。

反函数（*重要，不背没法用）#

如果你能记住反双曲函数的对数表达形式，很多带根号的复杂积分公式就再也不用死记硬背了。

反双曲正弦： $\text{arsinh} x = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$
反双曲余弦： $\text{arcosh} x = \ln(x + \sqrt{x^2-1})$ （ $x \ge 1$ ）

导数和基本公式#

双曲函数的求导比三角函数舒适得多，因为没有负号交替：

$(\sinh x)' = \cosh x$
$(\cosh x)' = \sinh x$

另外，普通三角函数和双曲函数有一点微妙的关系

类别	普通三角函数	双曲函数	记忆点
关系	$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$	$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$	双曲是减法
二倍角	$\sin 2x = 2\sin x \cos x$	$\sinh 2x = 2\sinh x \cosh x$	完全一致
二倍角	$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$	$\cosh 2x = \cosh^2 x + \sinh^2 x$	双曲是加法
半角	$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$	$\sinh^2 x = \frac{\cosh 2x - 1}{2}$	双曲相反
半角	$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$	$\cosh^2 x = \frac{\cosh 2x + 1}{2}$	完全一致

例子#

回到开头的积分 $I=\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx$ ：

\begin{align*} &\text{令}x = \sinh t,\,dx = \cosh t dt \\ &I = \int \frac{\cosh t}{\sqrt{\sinh^2 t + 1}} dt = \int \frac{\cosh t}{\cosh t} dt = \int 1 dt = t + C \\ &\text{回代：}t = \text{arsinh} x = \ln(x + \sqrt{x^2+1}) \\ &I = \int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx = \ln(x + \sqrt{x^2+1}) + C \end{align*}

一步到位，同理， $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} dx$ 令 $x = \cosh t$ 也能瞬间得出 $\ln|x + \sqrt{x^2-1}| + C$ 。

来一道上一个笔记里镇楼的题： $I=\int \sqrt{x^2 - 1} dx$

\begin{align*} &\text{令}x = \cosh t\ (x \geq 1, t \geq 0),\,dx = \sinh t dt \\ &I = \int \sqrt{\cosh^2 t - 1} \cdot \sinh t dt = \int \sinh t \cdot \sinh t dt = \int \sinh^2 t dt \\ &\text{由双曲恒等式：}\sinh^2 t = \frac{\cosh 2t - 1}{2} \\ &I = \int \frac{\cosh 2t - 1}{2} dt = \frac{1}{2}\int \cosh 2t dt - \frac{1}{2}\int 1 dt = \frac{1}{4}\sinh 2t - \frac{1}{2}t + C \\ &\text{由倍角公式：}\sinh 2t = 2\sinh t \cosh t,\ \text{代入得}= \frac{1}{2}\sinh t \cosh t - \frac{1}{2}t + C \\ &\text{回代：}\cosh t = x,\ \sinh t = \sqrt{x^2 - 1},\ t = \text{arcosh} x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1}) \\ &I = \int \sqrt{x^2 - 1} dx = \frac{1}{2}x\sqrt{x^2 - 1} - \frac{1}{2}\ln(x + \sqrt{x^2 - 1}) + C \end{align*}

双曲，爽！

图像及性质#

$\sinh x$ ：奇函数，穿过原点，形状类似 $y=x^3$ 但增长极快（因为是指数级）。单调递增。

$\cosh x$ ：偶函数，图像像一条悬垂的铁链（悬链线），最低点在 $(0, 1)$ 。在 $x>0$ 单调递增。

$\tanh x$ ：奇函数，被夹在 $y=-1$ 和 $y=1$ 两条水平渐近线之间，形状类似 $\arctan x$ 。

絵夢の小站

普通三角函数#

初高中的公式复习#

导数#

泰勒展开#

扩展三角函数#

定义#

从 d(tan⁡x)=sec⁡2xdxd(\tan x) = \sec^2 x dxd(tanx)=sec2xdx 开始#

处理积分中的 x2−1x^2-1x2−1 与 x2+1x^2+1x2+1#

另外两个兄弟#

仍然是不重要的#

反三角函数#

导数和基本公式#

泰勒#

图像及性质#

双曲函数#

定义#

反函数（*重要，不背没法用）#

导数和基本公式#

例子#

图像及性质#

从 $d(\tan x) = \sec^2 x dx$ 开始#

处理积分中的 $x^2-1$ 与 $x^2+1$ #