【学习笔记】数学笔记其六 · 一元函数积分学【下】

如果你是首次进入我的新数学笔记系列, 请先点此阅读预告回.

积分我分为四类题型：

计算。包括简单的不定积分和定积分计算。即纯计算技巧。见上期
分析。比如比大小和单调等。基于计算技巧结合，此处不展开。
中值。由拉格朗日中值引出的积分中值定理和积分第二中值定理。
应用。包括旋转体和我们数二独有的物理题。

本期内容比较少，因为主要是类型题。其中中值方面比较吃理解，应用方面只要跨过那个坎就是单纯的初见杀排雷现场。

尽管内容比较少我也还是要分上下期，因为微分那期所有东西糊到一起导致卡顿问题很严重，而且微分那章内容也被压的很死，这次就不这么干了。(其实我试过积分两期加一起比微分多30%)

证明类题#

除了老生常谈的绝对C位积分中值，积分为主的证明题里分部积分也是出场率top之一。

积分中值定理#

由拉格朗日中值推导：

设 $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ , 则 $F'(x)=f(x)$ （微积分基本定理）。 $F$ 在 $[a,b]$ 上连续、 $(a,b)$ 内可导，对 $F$ 用拉格朗日中值定理：

\frac{F(b)-F(a)}{b-a} = F'(\xi) = f(\xi)

即

\int_{a}^b f(x) dx = f(\xi)(b-a)

函数 $f$ 在区间上起伏不定，但总能找到一点 $\xi$ , 让 $f(\xi)$ 恰好等于 $f$ 在 $[a,b]$ 上的平均值。几何上就是”面积=某一点的高×底”。这就是积分中值定理，要我说就是把整个拉格朗日中值抽象积分了一下。

还有一个重要推广：若 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上不变号，则存在 $\xi\in[a,b]$ 使得

\textcolor{aqua}{ \int_a^b } \textcolor{yellow}{ f(x) }\textcolor{aqua}{ g(x) \,dx} = \textcolor{gold}{ f(\xi) }\textcolor{aqua}{ \int_a^b g(x)\,dx }

证明思路： $g$ 不变号时，把 $f(x)g(x)$ 看作以 $g$ 为”权”的加权平均， $g(x)\,dx$ 整体充当加宽的微元，与不加权的情形如出一辙。

TIP
我们经常需要证一些东西，比如 $\int_{a}^\xi f(x)dx$ , 当 $a$ 已知时，我们通常设 $F(x)=\int_{a}^x f(t)dt$ , 这样能够很方便地让 $\xi$ “存在”。下限同理，求导时加负号不提。

积分第二中值定理#

我们用刚才的积分中值定理直接来证积分二中（的一个条件简化版）：

27330:137/90/★★★★☆#

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调可导， $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。证明存在 $\xi \in [a,b]$ 使得：

\int_{a}^b f(x)g(x)dx=f(a)\int_{a}^\xi g(x)dx+f(b)\int_{\xi}^bg(x)dx

解

分部积分，把 $g$ 攒成 $G$ .乘积积分遇到单调/不变号因子。

令 $G(x)=\int_a^x g(t)\,dt$ , 则 $G'(x)=g(x)$ .分部积分得

\textcolor{lime}{ \int_a^b f(x)g(x)\,dx } = \textcolor{magenta}{ f(b)G(b) } - \textcolor{aqua}{ \int_a^b f'(x)\textcolor{yellow}{ G(x) }\,dx }

$f$ 单调 $\Rightarrow f'$ 不变号，对 $\int_a^b f'G\,dx$ 用推广的积分中值定理，把 $G(x)$ 整只提成 $G(\xi)$ .

因 $f$ 单调， $f'$ 在 $[a,b]$ 上不变号； $G$ 连续。由推广的积分中值定理，存在 $\xi\in(a,b)$ 使得

\textcolor{aqua}{ \int_a^b f'(x)\textcolor{yellow}{ G(x) }\,dx } = \textcolor{gold}{G(\xi)}\textcolor{aqua}{ \int_a^b f'(x)\,dx } = \textcolor{gold}{G(\xi)}\textcolor{aqua}{ \bigl(f(b)-f(a)\bigr) }

代回，把 $f(b)G(b)$ 拆成 $f(b)G(\xi)$ 和 $f(b)(G(b)-G(\xi))$ , 对号入座。

\begin{align*} \textcolor{lime}{ \int_a^b f(x)g(x)\,dx } &= \textcolor{magenta}{ f(b)G(b) } - \textcolor{gold}{ G(\xi)}\textcolor{aqua}{ \bigl(f(b)-f(a)\bigr) } \\ &= f(a)G(\xi) + f(b)\bigl(G(b)-G(\xi)\bigr) \\ &= f(a)\int_a^\xi g(x)\,dx + f(b)\int_\xi^b g(x)\,dx \end{align*}

证毕。这个结论就叫积分第二中值定理。 $f$ 单调递减时 $f'\le0$ , 同样不变号，完全同理。

TIP
学会证明一些定理对 $\varepsilon-\delta$ 大boss是很有帮助的。
不过这并不算基础定理，至少它不在考纲里。
但它确实是有用的，比如说……↓

27330:139/90/★★★★☆#

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $\int_0^1x^2f(x)dx=\int_0^1f(x)dx$ . 证明存在 $\xi \in [0,1]$ 使得：

\int_{0}^\xi f(x)dx=0

这道题可以用标准方法，也可以直接把积分二中套上来做。不过除非时间不够了，最好简单把二中证明一下。

解

目标是证明这段积分为零。

老规矩，先令 $F(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ , 目标变为 $F(\xi)=0$ .

再观察 $F$ , 显然条件本质是 $\int_0^1(x^2-1)f(x)\,dx=0$ , 分部积分得到 $F$ 方便后续操作

令 $F(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ , 则 $F'(x)=f(x)$ .对 $\int_0^1 x^2f(x)\,dx$ 分部积分：

\begin{align*} \int_0^1 x^2 f(x)\,dx &= \bigl[x^2F(x)\bigr]_0^1 - \int_0^1 2xF(x)\,dx \\ &= F(1) - 2\int_0^1 xF(x)\,dx \end{align*}

由条件 $\int_0^1 x^2f(x)\,dx = \int_0^1 f(x)\,dx = F(1)$ , 得

F(1) = F(1) - 2\int_0^1 xF(x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \int_0^1 xF(x)\,dx = 0

收尾很经典： $x$ 在 $[0,1]$ 上非负不变号， $F$ 连续，推广的积分中值定理直接给出 $F(\eta)=0$ .

由 $F$ 连续、 $x$ 在 $[0,1]$ 上不变号，用推广的积分中值定理，存在 $\eta\in[0,1]$ 使得

\int_0^1 xF(x)\,dx = F(\eta)\int_0^1 x\,dx = \frac{F(\eta)}{2}

于是 $F(\eta)=0$ , 即存在 $\xi=\eta\in[0,1]$ 使得

\int_0^\xi f(x)\,dx = 0

证毕。

再看积分二中秒杀

条件即 $\int_0^1(x^2-1)f(x)\,dx=0$ , 而 $x^2-1$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，对 $g(x)=x^2-1$ 和 $f$ 用积分二中，存在 $\xi\in[0,1]$ 使
$\begin{align*} 0=&\int_0^1 (x^2-1)f(x)\,dx \\ =& \underbrace{(0^2-1)}_{-1}\int_0^\xi f(x)\,dx + \underbrace{(1^2-1)}_{0}\int_\xi^1 f(x)\,dx \\ =& -\int_0^\xi f(x)\,dx=0 \end{align*}$
一步出答案。不过大题一般不用超纲结论，所以正文老老实实证了。选择题可以随便用这些小手段。

27330:145/135/★★★★★#

设函数 $f(x)$ 满足 $f''(x) > 0$ ， $\int_{0}^{1} f(x)\mathrm{d}x = 0$ ，证明：对任意 $x \in [0,1]$ ，都有 $|f(x)| \leqslant \max\{f(0), f(1)\}$ 。

TIP
一个十分耐用的方法论是，当一个函数展现出接近于某种函数（如普通的一次、二次、其他显示或隐式函数）而又与它有显著不同的、有待研究的性质时，相减即可直接暴露这种性质。
另一个方法论是实在无法正推一个看起来很显然的结论时，善用反证法，引入矛盾。

首先分析条件: $f(x)$ 是凸函数，两侧端点必有一端是这一段函数值的上界。

再分析条件: $|f(x)| \leqslant \max\{f(0), f(1)\}$ , 不妨设 $f(1)>f(0)$ , 反正 $f(0)>f(1)$ 肯定也成立。条件再展开为 $-f(1) \leq f(x) \leq f(1)$ . 上界由于凹函数是显然成立的，故只需要证明 $f(x) \geq -f(1)$ . 如果足够自信，也可以直接设 $M = \max\{f(0), f(1)\}$ , 考场试错成本更高，但答案也更有说服力。

最后分析条件: $\int_{0}^{1} f(x)\mathrm{d}x = 0$ .这个条件尤其简单，并不好利用，直接中值得到的结果也很可怜( $\exists \xi \in (0,1),f(\xi)=0$ )。但凹凸函数有很多关于直线的性质，其中就包括了凹曲线上两点的连线在该开区间内大于凹曲线，这个性质在此处能够完美融合凹性、区间性(不要试图证明结论的超结论)、积分值(恰好构成不等式，与结论形式相同)

令 $M = \max\{f(0), f(1)\}$ 。

对任意 $x\in[0,1]$ ，由凸性有

f(x) \le (1-x)f(0) + x f(1) \le M.

下证 $f(x) \ge -M$ 。用反证法。

假设存在 $x_0 \in (0,1)$ 使得 $f(x_0) < -M$ 。由凸性，

\begin{aligned} x\in[0,x_0] &\Rightarrow f(x) \le f(0) + \frac{f(x_0)-f(0)}{x_0}\,x, \\ x\in[x_0,1] &\Rightarrow f(x) \le f(x_0) + \frac{f(1)-f(x_0)}{1-x_0}\,(x-x_0). \end{aligned}

分别积分并相加得

\int_0^1 f(x)\,dx \le \frac{x_0}{2}[f(0)+f(x_0)] + \frac{1-x_0}{2}[f(x_0)+f(1)].

右端整理为 $\dfrac12\bigl[f(0)x_0 + f(1)(1-x_0) + f(x_0)\bigr]$ 。

由 $f(0) \le M,\, f(1) \le M$ 知 $f(0)x_0 + f(1)(1-x_0) \le M$ ，又 $f(x_0) < -M$ ，故

\int_0^1 f(x)\,dx < \frac12\bigl[M + (-M)\bigr] = 0,

与已知 $\int_0^1 f(x)\,dx = 0$ 矛盾。

因此对一切 $x\in[0,1]$ 均有 $f(x) \ge -M$ ，从而 $|f(x)| \le M$ 。证毕。

不使用反证法，直接积分折线面积与0比较也可以直接导出结论不等式。

定积分的应用#

这一章包括面积、弧长和体积的两种公式。直角、参数、极坐标公式又多又杂，我绝不推荐一个个死记硬背，哪怕最后没背下来也要考试现场能推出来。

面积#

定积分本身就是”宽 $\to0$ 的长条面积求和”，面积是它最直白的应用。曲线 $y=f(x)$ （ $f\ge0$ ）与 $x$ 轴及直线 $x=a$ 、 $x=b$ 围成的面积为

S = \int_a^b f(x)\,dx

最常用的变体是两条曲线之间的面积，上减下简单不提。如果不知道谁上谁下，就加绝对值或分段讨论。

参数方程与极坐标是同一套逻辑，记住微元即可：

参数方程 $\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}$ 有:

\begin{align*} S=&\int y dx \\ =&\int y(t) d(x(t)) \\ =&\int y(t) x'(t) dt \end{align*}

极坐标 $r=r(\theta)$ 不一样，它使用扇形微元

扇环微元 $dS=\frac12 r^2\,d\theta$ , 即 $S=\frac12\int_\alpha^\beta r^2(\theta)\,d\theta$ .

极坐标最经典的心形线 $r=a(1+\cos\theta)$ , 面积 $S=\frac12\int_0^{2\pi}a^2(1+\cos\theta)^2\,d\theta$ , 读者自证不难（提示：华里士/降幂）。

弧长#

取曲线上的一小段微元 $ds$ , 近似为直角三角形斜边：

ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2}

三个场景都从这一个微元出发，把 $dx,dy$ 换成各自的表达式即可。

直角坐标 $y=f(x)$ , $dy=f'(x)\,dx$

\begin{align*} s=&\int\sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \\ =&\int \sqrt{1+\left( \frac{dy}{dx} \right)^2}\,dx \\ =&\int \sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx \end{align*}

参数方程 $\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}$ , $dx=x'(t)\,dt$ , $dy=y'(t)\,dt$

\begin{align*} s=&\int\sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \\ =&\int \sqrt{(x'(t)\,dt)^2+(y'(t)\,dt)^{2}} \\ =&\int \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt \end{align*}

极坐标 $r=r(\theta)$ , $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$

\begin{align*} s &= \int\sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \\ &= \int\sqrt{(r'\cos\theta - r\sin\theta)^2 + (r'\sin\theta + r\cos\theta)^2}\,d\theta \\ &= \int\sqrt{r'^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta) + r^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)}\,d\theta \\ &= \int\sqrt{r^2 + (r')^2}\,d\theta \\ \end{align*}

推一遍比背三个公式靠谱。三个公式本来就是一个微元。

侧面积#

这里特指旋转体的侧面积。它和体积是近亲，但微元完全不同，也是最容易记混的一对。

简单来说，侧面积就是弧长再乘一个周长 $2\pi y$ 。

在 $x$ 处取弧长微元 $ds$ , 它绕 $x$ 轴旋转一周扫出一个圆台侧面——上底半径 $y$ 、下底半径 $y+dy$ 、母线长 $ds$ . 圆台侧面积公式是初中几何： $\pi(R+r)l$ , 在微元尺度上 $R\approx r\approx y$ , 故

\begin{align*} dS &= \pi\bigl[(y+dy) + y\bigr]\cdot ds \\ &= 2\pi y\,ds + \pi\,dy\,ds \\ &\approx 2\pi y\,ds \end{align*}

即侧面积微元

dS = 2\pi y\,ds

和弧长一样，三个场景从同一个微元出发，代入各自的 $ds$ 即可。

直角坐标 $y=f(x)$ , $dy=f'(x)\,dx$

\begin{align*} S=&\int 2\pi y\,ds \\ =&\int 2\pi f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx \end{align*}

参数方程 $\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}$

\begin{align*} S=&\int 2\pi y\,ds \\ =&\int 2\pi y(t)\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt \end{align*}

极坐标 $r=r(\theta)$ , 此时 $y=r\sin\theta$

\begin{align*} S=&\int 2\pi y\,ds \\ =&\int 2\pi r\sin\theta\,\sqrt{r^2+r'^2}\,d\theta \end{align*}

侧面积就是弧长再乘一个周长 $2\pi y$ 。

再次强调：是弧长。 $S=\int 2\pi y\;\textcolor{aqua}{ ds }$

绕y轴如上。绕x轴同理， $S=\int 2\pi x\;\textcolor{aqua}{ ds }$ .

体积（圆盘）#

最简单的情形：曲线 $y=f(x)$ （ $f\ge0$ ）与 $x$ 轴、 $x=a$ 、 $x=b$ 围成的区域绕 $x$ 轴旋转一周得到的旋转体。

在 $x$ 处切一薄片，它近似是一个半径为 $f(x)$ 、厚度 $dx$ 的薄圆盘，体积微元

dV = \pi f(x)^2\,dx

于是

V = \int_a^b \pi f(x)^2\,dx

若旋转的是两条曲线之间的区域（ $f\ge g$ ），薄片是垫圈（外半径 $f(x)$ 、内半径 $g(x)$ ）：

V = \int_a^b \pi\bigl[f(x)^2 - g(x)^2\bigr]\,dx

注意是 $f^2-g^2$ , 不是 $(f-g)^2$ .外圆面积减内圆面积，平方差在半径上，不在半径差上。

若绕平行于 $x$ 轴的直线 $y=c$ 旋转，把 $f(x)$ 换成 $|f(x)-c|$ 即可。绕 $y$ 轴旋转则见下节柱壳法。

体积（柱壳）#

在 $x$ 处切一竖条，高 $f(x)$ 、宽 $dx$ , 它绕 $y$ 轴旋转扫出一个薄柱壳。

半径 $x$ 、高 $f(x)$ 、壁厚 $dx$ 的圆柱筒。展开成矩形是长 $2\pi x$ （周长）、宽 $f(x)$ 、厚 $dx$ , 体积微元

dV = 2\pi x f(x)\,dx

于是

V = \int_a^b 2\pi x f(x)\,dx

圆柱筒侧面展开成矩形，底面周长 $2\pi r$ × 高。柱壳法就是把每根空心圆柱筒展开算体积再攒起来。

两条曲线之间绕 $y$ 轴旋转时，把高度换成 $f(x)-g(x)$ .

重心（质心）#

简单来说，质心 = 每个质点的位置按质量加权平均。

把物体切成微元，每个微元贡献”位置 × 质量”（这叫静力矩），加起来除以总质量：

\bar{x} = \frac{\int x\,dm}{\int dm}, \qquad \bar{y} = \frac{\int y\,dm}{\int dm}

总质量 $M=\int dm$ 对 $y$ 轴的静力矩 $M_y=\int x\,dm$ 对 $x$ 轴的静力矩 $M_x=\int y\,dm$

两个一除就是重心。问题在于一般来说 $dm$ 会不太好算。比如密度不均匀（如 $\rho=\rho(x)$ ）时把 $dm=\rho(x)\,ds$ 代入分子分母一起积分，没有新东西。

TIP
帕普斯（古尔丁）定理指出，平面区域绕不与之相交的轴旋转，旋转体体积 = 区域面积 × 形心绕轴走过的路程（ $2\pi\bar{x}A$ ）。反过来，知道体积和面积就能反推形心位置。对称图形（圆、圆环、半圆）的形心在对称轴上，很多体积题用它一眼验算正误，或者干脆秒杀。

27660:128/110/★★★★☆#

星形线具有对称性，面积、弧长、体积、侧面积均可利用参数方程在第一象限的部分计算后再乘倍数。面积用定积分 $\int y\,dx$ ，弧长用 $\int \sqrt{x'^2+y'^2}\,dt$ ，体积用 $\int \pi y^2\,dx$ ，侧面积用 $\int 2\pi y\,ds$ ，再代入参数方程及微分化简。

由对称性，只需计算第一象限 $t\in[0,\frac{\pi}{2}]$ 的对应量，再乘以倍数。

\begin{cases} x&=a\cos^3 t,\\ y&=a\sin^3 t,\\ x'&=-3a\cos^2 t\sin t,\\ y'&=3a\sin^2 t\cos t, \\ ds &= \sqrt{x'^2+y'^2}\,dt = 3a|\cos t\sin t|\,dt= \frac{3a}{2}\sin 2t\,dt. \end{cases}

面积 $A$

\begin{align*} \frac{A}{4}&= \int_0^a y\,dx \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (a\sin^3 t)(3a\cos^2 t\sin t)\,dt \\ &= 3a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4 t\cos^2 t\,dt \\ &= \frac{3\pi a^2}{32}, \\ A &= \frac{3}{8}\pi a^2. \end{align*}

弧长 $L$

\begin{align*} L &= 4\int_0^{\frac{\pi}{2}} ds \\ &= 4\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{3a}{2}\sin 2t\,dt \\ &= 6a\left[-\frac{1}{2}\cos 2t\right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ &= 6a. \end{align*}

体积 $V$ （绕 $x$ 轴，2倍第一象限体积）

\begin{align*} V &= 2\int_0^a \pi y^2\,dx \\ &= 2\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}} (a^2\sin^6 t)(3a\cos^2 t\sin t)\,dt \\ &= 6\pi a^3\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^7 t\cos^2 t\,dt. \\ &= 6\pi a^3\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin^7 t - \sin^9 t)dt\\ &= 6\pi a^3\cdot\frac{16}{315} \\ &= \frac{32}{105}\pi a^3. \end{align*}

侧面积 $S$ （绕 $x$ 轴，上半部分旋转侧面积的2倍，或直接4倍第一象限侧面积）

\begin{align*} S &= 2\int_{\text{上半}} 2\pi y\,ds \\ &= 4\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}} y\,ds \\ &= 4\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}} a\sin^3 t\cdot\frac{3a}{2}\sin 2t\,dt \\ &= 6\pi a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 t\cdot 2\sin t\cos t\,dt. \\ &= 6\pi a^2\cdot(2\int_0^1 u^4\,du) \\ &= 6\pi a^2\cdot\frac{2}{5} \\ &= \frac{12}{5}\pi a^2. \end{align*}

\boxed{A=\frac{3}{8}\pi a^2,\quad L=6a,\quad V=\frac{32}{105}\pi a^3,\quad S=\frac{12}{5}\pi a^2}

积分的物理应用#

重看常见物理公式#

数二独享的定积分应用就是物理题。我们要频繁地将物理公式从高中代数视角转化为高数微积分视角。高频考点如下:

变力做功。 力 $F(x)$ 沿 $x$ 轴把物体从 $a$ 推到 $b$ .微元 $dx$ 上力近似不变，做功 $dW=F(x)\,dx$ , 于是

W = \int_a^b F(x)\,dx

高中只考恒力 $W=Fs$ , 考研考变力, 弹簧的 $F=kx$ 、引力、阻力，给出 $F$ 随位置的变化规律，积分即可。

液体压力。 浸在液体中的平板，深度 $h$ 处的压强 $p=\rho g h$ （ $\rho$ 为液体密度）。取水平微条，宽 $L(y)$ 、高 $dy$ 、深度 $h(y)$ , 压力微元

dF = p\,dA = \rho g\,h(y)\,L(y)\,dy

然后积分。

同一水平线上压强处处相等，所以要水平切片

细杆质量。 线密度 $\rho(x)$ 随位置变化，微元 $dm=\rho(x)\,dx$ , 质量

m = \int_a^b \rho(x)\,dx

三个公式全是”微元=密度*长度/面积”。物理应用题不会考新物理，考的是你敢不敢把高中公式拆成微元。

微元化拆解#

当然，实际题基本不会考简单的上面几个公式。大部分都是复杂的各种公式套一起要剥洋葱。具体怎么剥，看一道例题最合适：

27330:147/90/★★★★☆#

已知一容器的外表面由曲线 $y = \frac{1}{2}x^2$ ( $0 \leqslant y \leqslant h_0$ ) 绕 $y$ 轴旋转一周得到，容积为 $64\pi\,\text{m}^3$ ，现将容器盛满水，从容器顶部抽水。（水的密度为 $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$ ， $g = 10\,\text{m/s}^2$ ） (1) 若要将水全部抽出，至少要做多少功？ (2) 若将水抽出 $28\pi\,\text{m}^3$ ，至少要做多少功？

求功公式 $dW=F\,ds$ .

抽出所需的力是重力势能 $F=mgh$ . $g$ 是常数. $h$ 对于各层的水不同，故随 $y$ 变化, $h=(h_{0}-y)$ . $dF=gh\,dm$

$m$ 是质量, 由于容器外表面诡异, 每层水的质量也不同。 $dm=\rho dV$ . $\rho$ 是常数。

$V$ 是体积, 由于容器外表面诡异, 每层谁的体积也不同。此处的体积微元已经是简单圆盘，半径与 $x$ 有关，高度为微小值, $dV=\pi x^{2}\,dy$ .

(1). 解:

TIP
下面这个剥洋葱过程就是最难的一步

\begin{align*} \textcolor{lime}{ dW }=&F\,ds \\ =&\textcolor{aqua}{ g }h\,dm \\ =&\textcolor{aqua}{ g }(\textcolor{aqua}{ h_{0} }-\textcolor{magenta}{ y })\,dm \\ =&\textcolor{aqua}{ g }(\textcolor{aqua}{ h_{0} }-\textcolor{magenta}{ y })\textcolor{aqua}{ \rho } \, dV \\ =&\textcolor{aqua}{ g }(\textcolor{aqua}{ h_{0} }-\textcolor{magenta}{ y })\textcolor{aqua}{\rho\pi} \textcolor{magenta}{ x^{2} }\,\textcolor{yellow}{ dy } \\ =&\textcolor{aqua}{ g }(\textcolor{aqua}{ h_{0} }-\textcolor{magenta}{ y })\textcolor{aqua}{\rho\pi } \textcolor{magenta}{ 2y }\,\textcolor{yellow}{ dy } \end{align*}

上面的上色分别是 $\textcolor{aqua}{ \text{常数} }$ 和 $\textcolor{magenta}{ \text{变量} }$ . 这两种都是我们能直接数学使用的。

等会，高度 $\textcolor{aqua}{ h_{0} }$ 好像还没有，不过给了总体积可以算，此处使用柱壳法

\begin{align*} V=&\int_{0}^r 2\pi xy\,dx=\pi \int_{0}^r x^3\,dx \\ =&\frac{\pi}{4}r^4=64\pi \\ r=&4 \\ h_{0}=&\frac{1}{2}r^2=8 \end{align*}

计算总功

\begin{align*} W=&\int_{0}^{h_{0}} g(h_{0}-y)\rho\pi 2y\,dy \\ =&\frac{1}{3}g\rho\pi h_0^3 \\ =&\frac{512}{3}\pi\cdot 10^4\;(J) \end{align*}

第二问，抽出 $28\pi\,\text{m}^3$ 的水。可以先算一下高度

(2). 解:

若抽出 $28\pi\,\text{m}^3$ 的水，剩余 $64\pi-28\pi=36\pi\,(\text{m}^3)$ . 代入 $V=\frac{\pi}{4}r^4=36\pi$ 可得 $h_{1}=6\,(\text{m}^3)$ . 则所需的功

\begin{align*} W=&\int_{h_{1}}^{h_{0}} g(h_{0}-y)\rho\pi 2y\,dy \\ =&2\pi\rho g \int_{6}^{8} (8y - y^2)\,dy \\ =&2\pi\rho g \left[ \left(4\cdot 8^2 - \frac{8^3}{3}\right) - \left(4\cdot 6^2 - \frac{6^3}{3}\right) \right] \\ =&2 \times \frac{40}{3} \times \pi \times 1000 \times 10 \\ =& \frac{8}{3}\pi \cdot 10^5\;(J) \end{align*}

CAUTION
注意：不能用 $\frac{1}{3}g\rho\pi \cdot 8^3$ 减去 $\frac{1}{3}g\rho\pi \cdot 6^3$ 。

絵夢の小站

证明类题#

积分中值定理#

积分第二中值定理#

27330:137/90/★★★★☆#

27330:139/90/★★★★☆#

27330:145/135/★★★★★#

定积分的应用#

面积#

弧长#

侧面积#

体积（圆盘）#

体积（柱壳）#

重心（质心）#

27660:128/110/★★★★☆#

积分的物理应用#

重看常见物理公式#

微元化拆解#

27330:147/90/★★★★☆#