絵夢の小站

重极限#

事情要从极限底下变成两个符号那天说起。

我们说一元极限$x\to x_0$, 它只有左、右两条路，再怎么走也只需要左右极限相等即可。

二元极限要求$P(x,y)$在平面上以任意方式趋近$P_0(x_0,y_0)$时函数值都趋于同一个数$L$：

路有无限多条。任有一条走不通，或者两条的极限不一样，最终极限就不存在。

图中函数为：

我们要判定它在$(0,0)$不存在非常简单，只要代入一条抛物线$y=kx^{2}$就能立刻证明：

显然，极限随$k$变化，故$(0,0)$处极限不存在。

这里$y=kx^{2}$不是瞎找的，实际上$y=kx$和$y=kx^{2}$就足够判断绝大多数函数极限不存在了。如果真有判不出来的那大概率得现场分析了。

判定存在则麻烦得多。一种常用的方法是换极坐标，简单来说，“趋近”这一行为本质上是$\textcolor{pink}{ r=\sqrt{ x^{2}+y^{2} } }$的下降，因此令$x-x_0=r\cos\theta$、$y-y_0=r\sin\theta$, 若能找到一个与$\textcolor{pink}{ \theta }$无关、随$r\to 0$而趋于零的量控制住$|f-L|$, 则极限存在。

同理，如果能找到上下两个$r\to 0$、能把$f$值夹逼到同一个点的两个函数，也可以证明极限存在。

累次极限#

注意它和重极限完全不一样，它们就是简单地、从内到外依次互不干扰地求极限。先固定里面的变量简单取$y\to y_{0}$的一元极限、再对外面的取，顺序不能颠倒。顺序不同可能导致结果不同。

可惜的是重极限与累次极限互不蕴含。

$\dfrac{xy}{x^2+y^2}$重极限不存在，但两个累次极限都存在且为0

$x\sin\frac1y$（$y=0$处补0）的重极限为0，但先对$y$取极限时内层极限不存在，累次极限也不存在。

唯一可用的结论是：若重极限与某顺序的累次极限都存在，则二者相等。

TIP

狄利克雷函数$D(x)$的一种常见构造就基于累次极限。

$$D(x)=\lim_{k\to\infty}\lim_{j\to\infty}\left[\cos(k!\pi x)\right]^{2j}$$

交换$k,j$的取极限次序后,表达式在有理数点取值为1，在无理数点是发散/无定义的。

连续#

二元函数在$(x_0,y_0)$连续的定义与一元完全一致，即极限存在且等于函数值：

我曾在极限篇将极限存在记为$L=V=R$. 那时是因为还只有左右两边。

现在我们可以记为$\forall Q=V$, 意为所有方向上的极限都等于该点函数值。

偏导数#

直接对$x$求导数，把$y$当常数，这就是对$x$求偏导。

在$(x_0,y_0)$处对$x$的偏导数定义为

也是能明显地看出来为什么偏导就是把$y$当常数。它和一元导数不能说是完全一致，也只能说是同根同源了。所以偏导本质是一维问题，一元求导的一切技巧（定义式、公式、分段点用定义）原样搬过来即可。

曲面$z=f(x,y)$被平面$y=y_0$截出交线，$f_x(x_0,y_0)$就是这条交线在$(x_0,y_0)$处关于$x$轴方向的变化率；$f_y$同理对应平面$x=x_0$的截线。

偏导的概念不会考的像一元微分那么精细连续可导链体操吓哭了，但也要明确一些二维上的新东西：

问题一: 导数存在$\implies$连续，偏导数存在$\implies?$

• 一元函数中: $f'(x)$在$x_0$处存在\implies$$f(x)在$x_0$处连续
• 二元函数中: $f'_{x}(x,y)$在$(x_0,y_{0})$处存在\implies$$g(x)=f(x,y_{0})在$x_0$处连续
  • 本质上是在$y=y_{0}$这条线上连续，因为偏导只保证一个方向
• 不能推导出$f(x,y)$连续。
  • 二元函数的连续要求所有方向都连续，偏导存在最多保证两个方向。

问题二: $f(x^{2})$可以换成$f(u),u=x^{2}$，$f'_{x}(x,y)$这个记号如何换呢

二元函数中，对一个参数的导数并非针对$x$这个记号，而是第一个位置的参数这个概念。偏导有三种常见记号。分别是：

1. 偏导符号法
   • 最麻烦，最常见。
   • $\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=\frac{\partial}{\partial u}f(u,v)$
   • $\frac{\partial^{2}}{\partial x\partial y}f(x,y)=\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial}{\partial y}f(x,y))$, $\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}f(x,y)$
2. 符号法
   • 最方便，最易混。
   • $f'_{x}(x,y)=f'_{u}(u,v)$
   • $f''_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial}{\partial x}f(x,y))$, $f''_{xx}(x,y)$
3. 位置法
   • 最精确，最少见。
   • $f'_{1}(x,y)=f'_{1}(u,v)$
   • $f''_{12}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial}{\partial x}f(x,y))$, $f''_{11}(x,y)$
   • 它可以用于这种场景而不混淆: $f''_{12}(\sin x-y,x+y^{2})$.

对于后两种，也有写作$f'_{xy}(x,y)$的 (只有一个$'$), 并不会造成歧义，甚至不写撇($f_{xy}$), 也不会造成歧义。

另有: $z_{xy}''$, $z_{xx}''$, $z_{12}''$ 等记法用于记号的表示。

问题三: $f''_{12}(x,y)$和$f''_{21}(x,y)$有区别吗？

简单来说，若$f''_{12}(x,y)$与$f''_{21}(x,y)$在区域内连续$\implies$二者相等（即$f$的求导次序可交换）。实际计算题中这个条件通常默认满足，但概念题会特意挖一点简单小坑，题目只说”偏导数存在”时是不能交换求导次序的。

可微#

定义: 若增量$\Delta z = f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$能写成

其中$A,B$是与$\Delta x,\Delta y$无关的常数，则称$f$在$(x_0,y_0)$可微。可微是二元函数真正的“可导”。其性质包括:

1. 此时必有$A=f'_x(x_0, y_0)$, $B=f'_y(x_0, y_0)$
2. 此时全微分存在，记作$dz=f'_x\,dx+f'_y\,dy$
3. 这个函数在此处有一个唯一的切平面，几何方面不难想象，这个点处是“平”的。
   • 这个平面方程就是$z - z_0 = A(x - x_0) + B(y - y_0)$

NOTE

为什么公式里会出现一个$\rho=\sqrt{ x^{2}+y^{2} }$呢？

$\sqrt{ x^{2}+y^{2} }$是二元领域的$dx$，它的意义在于无论在二维平面上从什么曲线逼近$(0,0)$, 都有$\begin{cases}x\to 0\\y\to 0\end{cases}\implies \rho\to 0$. “逼近”是指距离减小，$\rho$就是距离本身。

可微性的判定有两种方法。

1. 充分条件法: 算出偏导，如果偏导连续则一定可微，偏导不连续时什么也断言不了。
2. 定义法: 直接验证

真题里“判断$f$在原点是否可微”的选择题全是为此设计的，先按定义算两个偏导，如果有不连续的再代进这个极限，再仔细观察分子有没有脏东西如$\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$这种项，可能它就不为零了。

注意$\rho$可能参与计算，要么按照正常的$\sqrt{ x^{2}+y^{2} }$计算，要么使用极坐标转换$\begin{cases}x=\rho \cos \theta\\y=\rho \sin \theta\end{cases}$. 比方来说，$z(x,y)$处处满足增量方程$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+\Delta x\Delta y$, 则:

则$z$处处可微。

27660:422/90/★★★☆☆#

设$f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{x^4 - y^4}{x^2 + y^2}, & x^2 + y^2 \neq 0, \\ 0, & x^2 + y^2 = 0, \end{cases}$, 则$f(x,y)$在点$(0,0)$处

(A) 连续，但偏导数$f'_x(0,0)$和$f'_y(0,0)$不存在. (B) 连续且偏导数$f'_x(0,0)$和$f'_y(0,0)$都存在，但不可微. (C) 可微但$f'_x$和$f'_y$不连续. (D) 可微且$f'_x$和$f'_y$连续.

解

四个选项正好是”连续/偏导存在/可微/偏导连续”的四种组合，逐个验。核心武器是一条估计：——分子是分母的高次无穷小，连续和可微都直接由它推出。

先验连续：$|f(x,y)|\le\rho^2\to0=f(0,0)$，连续。

偏导：沿$x$轴$f(x,0)=x^2$，故$f'_x(0,0)=\lim_{x\to0}\dfrac{x^2-0}{x}=0$，同理$f'_y(0,0)=0$，都存在。

可微：$A=B=0$, 代入定义式:

可微。

最后验$f'_x$连续（$f'_y$同理）：$(x,y)\neq(0,0)$时

换极坐标$x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$化简得$f'_x=2\rho\cos\theta$，与$\theta$无关地一致趋于0，故$f'_x$在原点连续。选(D)。

27660:431/135/★★★★☆#

设$f(u, v)$有连续偏导数且$f(0, 0) = 0$，则下列等式中成立的是

(A)$f(x, y) = x \int_{0}^{1} \frac{\partial f(tx, y)}{\partial u} \mathrm{d}t.$ (B)$f(x, y) = y \int_{0}^{1} \frac{\partial f(x, ty)}{\partial v} \mathrm{d}t.$ (C)$f(x, y) = x \int_{0}^{1} \frac{\partial f(tx, ty)}{\partial u} \mathrm{d}t + y \int_{0}^{1} \frac{\partial f(tx, ty)}{\partial v} \mathrm{d}t.$ (D)$f(x, y) = x \int_{0}^{1} \frac{\partial f(tx, y)}{\partial u} \mathrm{d}t + y \int_{0}^{1} \frac{\partial f(x, ty)}{\partial v} \mathrm{d}t.$

解

令$F(t)=f(tx,ty)$，则$F(0)=f(0,0)=0$，$F(1)=f(x,y)$，由链式法则

于是由微积分基本定理

即(C)成立。

全微分#

由可微的定义直接得到公式

求$df(x,y)$在$(0,1)$处的值这类题就是先算偏导、再代点，机械得不能再机械。比如

注意，这种题有时候会反过来给你全微分去让你积分求原式，那种有点技术含量，后面就讲。

另一件事是一阶微分形式的不变性: 无论$u,v$是自变量还是中间变量，全微分都长一个样

所以复合函数求全微分可以不背链式法则，先写出$dz=f'_u\,du+f'_v\,dv$，再逐层代入$du=u'_x\,dx+u'_y\,dy$、$dv=v'_x\,dx+v'_y\,dy$，展开整理。

复合函数求导/链式法则#

设$z=f(u,v)$, $u=u(x,y)$, $v=v(x,y)$, 则

从$z$到$x$有两条路径：$z\to u\to x$（$\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}$）和$z\to v\to x$（$\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$）.

中间变量只有一元（$u=u(t)$、$v=v(t)$）时退化为全导数

27330:153/90/★★★☆☆#

(1). 设$z = f(2x - y) + g(x, xy)$，其中$f(t)$二阶可导，$g(u, v)$具有二阶连续偏导数，求$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$。

(2). 设$u = f(x, y, z)$，其中$z = \int_{0}^{xy} e^{t^2} \mathrm{d}t$，$f$有二阶连续偏导数，求$\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$。

解

(2)

隐函数求导#

方程$F(x,y)=0$在满足$F_y(x_0,y_0)\neq0$的点附近确定隐函数$y=y(x)$（隐函数存在定理），此时

方程$F(x,y,z)=0$在$F_z(x_0,y_0,z_0)\neq0$处确定$z=z(x,y)$, 则

以上小公式结合更主要的链式法则和一元微分学的隐函数求导就是完整的多元隐函数求导了。东西不多。

27330:154/90/★★★☆☆#

设二元函数$z = z(x, y)$是由方程$x e^{xy} + y z^2 = y z \sin x + z$所确定，求二阶偏导数$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \Big|_{(x,y)=(0,0)}$.

解

偏微分方程#

不是让你真的去解PDE 这类题主要是如何将PDE化为ODE来解。

• 1. 已知偏导求原函数: 已知$f'_x=P(x,y)$、$f'_y=Q(x,y)$（等价于已知全微分$df=P\,dx+Q\,dy$）

这是直戳了当的一类题。逆运算，我们直接把$y$当常数对$x$积分：

再对$y$求偏导、与$Q(x,y)$对照定出$\varphi(y)$。

注意能反推的前提是$P'_y=Q'_x$，即混合偏导必须相等（混合偏导可交换），否则函数不存在。

• 2. 结构降维成微分方程: 题目给一个含偏导的方程求原函数时，先瞪眼找结构。

例如径向对称$u=u(\sqrt{x^2+y^2})$, 由$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=u''(r)\frac{x^2}{r^2}+u'(r)\frac{y^2}{r^3}$可以推出

化为二阶常微分方程。这类题的关键是敢把”偏导方程”当”微分方程”看。

27330:160/90/★★★★☆#

设$u = u(\sqrt{x^2 + y^2})$具有连续二阶偏导数，且满足

试求函数$u$的表达式。

解

看到$u=u(\sqrt{x^2+y^2})$立刻考虑极坐标，一切$u$改写为$r=\sqrt{x^2+y^2}$有关。把$\frac{\partial}{\partial x}$写成$\frac{x}{r}\frac{d}{dr}$

令$r=\sqrt{x^2+y^2}$，则

对$y$同理，相加得

又$\dfrac1x\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{u'(r)}{r}$，代入原方程，两项对消：

解一元ODE，此处简略过，齐次通解为$C_1\cos 2r+C_2\sin 2r$, 设特解$u_p=ar^2+b$, 代入得$a=1$, $b=-\frac12$。故

无条件极值#

找极值点既要查驻点，也要查偏导不存在的点。不存在的特殊点现场发挥分析不难，此处主要说可微的那些点

1. $f$在$(x_0,y_0)$取极值的必要条件:

这样的点叫驻点。没错，与一元函数中的$f'(x)=0$的驻点是等位的。

注意这是必要不充分条件，

• 驻点可能是鞍点，如$f(x,y)=x^2-y^2$在原点
• 偏导不存在的点也可能取极值，如$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$在$(0,0)$

2. $f$在$(x_0,y_0)$取极值的充分条件: 设有

则有

一元里$f''=0$在这里升级成了$AC-B^2=0$, 只能回定义或另想办法。不过真题里极少出现，最多概念题挖点坑。

NOTE

实际做题中，我们一般做:

1. 计算一阶偏导，解等于0方程组，使用必要条件(偏导数为0)筛选出所有驻点；
2. 计算二阶偏导，代入前面求得的几个驻点逐个解算筛选$AC-B^2>0$者

另外，一般来说，函数在区域的边界上的极值大多数情形是非常好算的，只要简单代入即可了。

拉格朗日乘数法#

有时，题目要求$f(x,y)$在某一约束$\varphi(x,y)=0$下的极值。

约束把变量困在一条曲线上，极值点当然不是自由驻点，直接套无条件极值会失效。正确做法是构造拉格朗日函数

然后解方程组$L_x=0,\ L_y=0,\ L_\lambda=0$（$L_\lambda=0$就是约束本身），得到的解就是可能的条件极值点。