【学习笔记】数学笔记其九 · 常微分方程

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常微分方程这一章总体感觉就是，你一路上体验过了各种新玩法新机制，但这些新机制大多只能在任务点内部用。终于快把主线打通了，什么叫大boss场地里不仅有新机制，还要用到以前所有的机制？

数二的本章新机制常微分方程是最有模板感的。计算全是流水线。每一种能考的方程都配好了指定解法，认出即可机械动笔。

概念。什么是微分方程、阶、解、通解特解、线性与齐次。专供小题。
解法。数二范围内的每种方程都有一张身份证，认型套模板。
超级拼装。把一个微分方程和极限/积分/几何题生硬地上下连接在一起，这就是你数二最有魅力的样子。

数二范围:

一阶可分离变量的常微分方程

N阶线性线性齐次常微分方程

一阶线性线性齐次和线性非齐次常微分方程

二阶线性齐次常系数线性常微分方程

二阶有特定的线性非齐次项常系数线性常微分方程

一阶代数齐次可转化为线性的常微分方程

可降阶的N阶常微分方程

在提示的转换下，任意可换元转化为以上范围的常微分方程

微分方程#

微分方程就是含有未知函数导数（或微分）的等式，目标是求出那个函数。比如

y' = 2x, \quad y'' + y = 0, \quad (y')^2 + xy = e^x

第一个的解是 $y = x^2 + C$ ；第二个是 $y = C_1\cos x + C_2\sin x$ ；第三个……第三个不是数二会考的东西，它不会出现在卷子上，

阶数: 方程中最高阶导数的阶数。
- $y'' + y = 0$ 是二阶
- $y^{(4)} - 5y'' + 10y' - 6y = 0$ 是四阶。
通解: 含任意常数的解，表示一个函数集合。
- $y = C_1\cos x + C_2\sin x$ 是一个通解
- 任意常数的个数 = 方程的阶数。
解: 代入后使方程成立的一个函数。
- $y = 0$ 是一个解
- $y = 666\cos x + 999\sin x$ 是一个解
特解: 用初值条件把通解里的常数定死之后得到的解。
- 初值条件如 $y(x_0) = y_0,\ y'(x_0) = y_1$ .
初值问题: 微分方程 + 初值条件，也叫柯西问题。

常微分方程难在没有万能解法，但部分特定形态的函数古人们已经解出来了，其中一部分简单的进入了考纲。

本章这个没意思的新机制就是认方程，套模板。

	线性	非线性
齐次	特征方程（常系数）；一阶的直接分离	分离变量、换元法
非齐次	齐次通解 + 特解 + 叠加原理	换元转换到齐次

线性性#

$y$ 和它的各阶导数只以一次幂出现、没有互相相乘、没有复合。

\textcolor{lime}{ y'' + p(x)y' + q(x)y } = f(x)

方程关于 $y, y', y'', \dots$ 是一次的。左边是一个线性算子 $L[y] = y'' + p y' + q y$ 作用在 $y$ 上。

$(y')^2$ , $yy'$ , $\sin y$ 都是非线性的。

算子，即函数的函数，接受一个函数，表达一个函数。

线性性是本章最重要的性质，它带来叠加原理和解空间的线性结构。后面单独开一节。

线性齐次性#

线性方程里的齐次指 $L[y] \equiv 0$ , 即右端为零。

$y''+y\textcolor{lime}{ =0 }$
$y^{(4)}-y'''+y''-y\textcolor{lime}{ =0 }$
$y''-y\textcolor{red}{ =\sin x }$

线性齐次性基于线性性。

代数齐次性#

指一阶方程 $y' = \varphi\left(\frac{y}{x}\right)$ , 其右端函数关于 $x, y$ 是 $0$ 次代数齐次函数 $f(tx, ty) = f(x, y)$

说白了就是只能以 $y/x$ 的形式出现。通过换元 $u = y/x$ 化为可分离变量求解。

虽然这俩性质除了名字没有任何关系，但试卷上不会说。一般来说你也不会搞混。

常系数性#

线性方程里的常系数指 $y,y',y'',\dots$ 的系数不含 $x$ .

$\textcolor{lime}{y''+y}=0$
$\textcolor{lime}{ y^{(4)}-6y'''+3y''-ay }=0$
$\textcolor{lime}{ y''-k^2y} =\sin x$
$y''\textcolor{red}{ -\frac{1}{x}y} =\cos x$
$y''\textcolor{red}{ -e^{x}y'}+2y =\cos x$

分离变量法#

适用范围:

模式符合: $y' = f(x)g(y)$ .

简单把 $x$ 和 $y$ 分到两边:

\begin{align*} \frac{dy}{dx}&=f(x)g(y) \\ \frac{dy}{g(y)}&=f(x)dx \\ \int\frac{dy}{g(y)}&=\int f(x)dx \end{align*}

两边各自积分即可。注意 $g(y)\neq 0$ , 这意味着对于 $g(y)$ 可能 $=0$ 的情况需要特殊处理处理完后你大概率会发现特殊点也在通解中。

例:

\begin{align*} y'&=2xy& y'&=y^{2},y(0) = 1\\ \frac{dy}{dx} &= 2xy& \frac{dy}{dx} &= y^2\\ \frac{dy}{y} &= 2x\,dx& \frac{dy}{y^2} &= dx \\ \ln|y| &= x^2 + C& -\frac{1}{y} &= x+C \\ y &= Ce^{x^2}& y &= \frac{1}{1-x}\\ \end{align*}

第二个例子中 $x=1$ 显然不存在，求完要专门写 $x$ 的定义域。

NOTE
分离变量是唯一一个“什么方程都可能用到”的底层方法。线性齐次、齐次方程换元后、可降阶换元后，最后全都会落到它头上。它是本章的万能终点。

齐次方程#

适用于齐次方程 $y' = \varphi\left(\frac{y}{x}\right)$

齐次方程中, $x, y$ 同时放大 $t$ 倍，方程不变。由此可以判断齐次方程。
$\dfrac{x^2 + y^2}{xy} = \dfrac{(kx)^2 + (ky)^2}{(kx)(ky)} = \dfrac{y}{x} + \dfrac{x}{y}$

对于 $y' = \varphi\left(\frac{y}{x}\right)$ , 令 $u = y/x$ , 即 $y = ux$ :

\begin{align*} y'&=\varphi\left( \frac{y}{x} \right),\quad \begin{cases} u=\frac{y}{x} \\ y=ux \end{cases} \\ (ux)'&=\varphi(u) \\ u+u'x&=\varphi(u) \\ u+x\;\frac{du}{dx}&=\varphi(u) \\ \frac{du}{\varphi(u)-u}&=\frac{dx}{x} \end{align*}

回归到分离变量法。

例: $y' = \dfrac{y}{x} + \tan\dfrac{y}{x}$ , 令 $u = y/x$ :

\begin{align*} xu' &= \tan u \\ \frac{\cos u}{\sin u}\,du &= \frac{dx}{x} \\ \ln|\sin u| &= \ln|x| + C \\ \sin\frac{y}{x} &= Cx \end{align*}

线性变换#

适用于 $y' = f(ax + by + c)$

对于 $y' = f(ax + by + c)$ , 令 $u = ax + by + c$ , 则 $u' = a + by'$ :

\begin{align*} y' &= f(ax+by+c),\quad \begin{cases} u = ax+by+c \\ u' = a + b y' \end{cases} \\ u' &= a + b f(u) \\ \frac{du}{dx} &= a + b f(u) \\ \frac{du}{a + b f(u)} &= dx \end{align*}

回归到分离变量法。

例: $y' = (x + y)^2$ , 令 $u = x + y$ :

\begin{align*} y' &= (x+y)^2,\quad \begin{cases} u = x+y \\ u' = 1 + y' \end{cases} \\ u' &= 1 + u^2 \\ \frac{du}{dx} &= 1 + u^2 \\ \frac{du}{1+u^2} &= dx \\ \arctan u &= x + C \\ u &= \tan(x+C) \\ x+y &= \tan(x+C) \end{align*}

第一类可降阶的二阶方程#

适用于 $y'' = f(x, y')$

即缺少 $y$ 者

对于 $y'' = f(x, y')$ , 令 $p(x) = y'$ , 则 $p' = f(x, p)$ . 回归到关于 $p$ 和 $x$ 的一阶常微分方程（后文）。

此方法的本质是将一阶导视为函数，比较好理解。

例: $y'' = y' + x$ , 令 $p = y'$ :

\begin{align*} y'' &= y' + x,\quad \begin{cases} p = y' \\ p' = y'' \end{cases} \\ p' &= p + x \\ p' - p &= x \\ (p e^{-x})' &= x e^{-x} \\ p e^{-x} &= \int x e^{-x} \, dx = -(x+1)e^{-x} + C \\ p &= y' = -x - 1 + C e^x \\ y &= \int (-x - 1 + C e^x) \, dx \\ &= -\frac{x^2}{2} - x + C e^x + D \end{align*}

第二类可降阶的二阶方程#

适用于 $y'' = f(y, y')$

即缺少 $x$ 者。此时我们将 $y$ 视作自变量

对于 $y'' = f(y, y')$ , 令 $p(\textcolor{orange}{y})=y'$ , 则 $y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dy}{dx}\cdot\frac{dp}{dy} = p\,\frac{dp}{dy}$ :

\begin{align*} y'' &= f(y, y'),\quad \begin{cases} p = y' \\ p = p(y) \end{cases} \\ y'' &= \frac{dp}{dx} = \frac{dy}{dx}\frac{dp}{dy} = p\frac{dp}{dy} \\ p\frac{dp}{dy} &= f(y,p) \\ \frac{dp}{dy} &= \frac{f(y,p)}{p} \\ \end{align*}

回归到关于 $p$ 和 $y$ 的一阶常微分方程（后文）。

例: $yy'' + (y')^2 = 0$ , 令 $p(y)=y'$ :

\begin{align*} yy'' + (y')^2 &= 0,\quad \begin{cases} p = y' \\ y'' = p\frac{dp}{dy} \end{cases} \\ y p\frac{dp}{dy} + p^2 &= 0 \\ p\left(y\frac{dp}{dy} + p\right) &= 0 \\ y\frac{dp}{dy} + p &= 0 \quad (p\neq 0) \\ \frac{dp}{p} &= -\frac{dy}{y} \\ \ln|p| &= -\ln|y| + C_1 \\ p &= \frac{C_1}{y} \quad \text{ include }\, p\equiv 0 \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{C_1}{y} \\ y\,dy &= C_1\,dx \\ \frac{y^2}{2} &= C_1 x + C_2 \end{align*}

齐次线性#

适用于 $y' = f\left(\dfrac{ax + by + c}{a'x + b'y + c'}\right)$

设 $y'=f\left( \frac{L_{1}(x,y)}{L_{2}(x,y)} \right)$ . $L_{1}$ , $L_{2}$ 均为直线。当两条直线相交时，解方程组 $\{ L_{1}=L_{2}=0 \}$ , 解得 $(x_{0},y_{0})$ 作为交点。然后作重要变换:

\begin{cases} X = x - x_0 \\ Y = y - y_0 \end{cases}

此变换下有

\begin{align*} \frac{dy}{dx}&=f\left( \frac{L_{1}(x,y)}{L_{2}(x,y)} \right)\quad\begin{cases} X = x - x_0 \\ Y = y - y_0 \end{cases} \\ \frac{dY}{dX}&=f\left( \frac{L_{1}(X+x_{0},Y+y_{0})}{L_{2}(X+x_{0},Y+y_{0})} \right) \\ \frac{dY}{dX}&=f\left( \frac{aX+bY}{a'X+b'Y} \right)\quad \begin{cases} u=Y/X\\ Y=uX \end{cases} \\ u+X\cdot\frac{du}{dX}&=f\left( \frac{a+bu}{a'+b'u} \right) \\ \frac{du}{dX}&=\frac{1}{X}\left[ f\left( \frac{a+bu}{a'+b'u} \right) -u\right] \\ \frac{du}{\left[ f\left( \frac{a+bu}{a'+b'u} \right) -u\right]}&=\frac{dX}{X} \\ \end{align*}

回归到分离变量法。

例: $y' = \dfrac{x + y - 1}{x - y + 1}$ , 两直线 $x + y = 1$ 与 $x - y = -1$ 交于 $(0, 1)$ , 令 $X = x,\ Y = y - 1$ :

\begin{align*} y' &= \frac{x+y-1}{x-y+1},\quad \begin{cases} X = x \\ Y = y-1 \end{cases} \\ \frac{dY}{dX} &= \frac{X+Y}{X-Y},\quad \begin{cases} u = \frac{Y}{X} \\ Y = uX \end{cases} \\ u + X\frac{du}{dX} &= \frac{1+u}{1-u} \\ X\frac{du}{dX} &= \frac{1+u^2}{1-u} \\ \frac{1-u}{1+u^2}\,du &= \frac{dX}{X} \\ \arctan u - \frac{1}{2}\ln(1+u^2) &= \ln|X| + C \\ \arctan\dfrac{Y}{X} &= \ln\sqrt{X^2 + Y^2} + C \end{align*}

两条直线平行时没有交点可平移，但此时 $ax + by$ 是同一个东西，令 $u=ax + by + c$ 即可消掉一个变量。

例: $y' = \dfrac{x + y + 2}{x + y - 1}$ , 令 $u = x + y + 2$ :

\begin{align*} y' &= \frac{x+y+2}{x+y-1},\quad \begin{cases} u = x+y+2 \\ u' = 1 + y' \end{cases} \\ u' &= 1 + \frac{u}{u-3} = \frac{2u-3}{u-3} \\ \frac{u-3}{2u-3}\,du &= dx \\ \int \frac{u-3}{2u-3}\,du &= \int dx \\ \frac{1}{4}(2u-3 - 3\ln|2u-3|) &= x + C \end{align*}

特征方程法#

特征方程#

适用范围:

常系数线性齐次方程

常系数线性非齐次方程的齐次解部分

先说做法。举例来说，对于一个线性方程

y'' + ay' + by = 0

我们对左端做以下映射:

\begin{align*} y''&\implies \lambda^{2} \\ y'&\implies \lambda \\ y&\implies 1 \\ \end{align*}

实际上以上代入是基于右端为 $0$ 时代入 $y=e^{ \lambda x }$ 后化简的结果

可得特征方程

\lambda^2 + a\lambda + b = 0

解得特征根 $\lambda_{1},\lambda_{2}$ . 然后是最重要的一步:

对于任意特征根 $\textcolor{aqua}{ \lambda_{i} }$ 作为 $\textcolor{yellow}{ n_{i} }$ 重根, 有

y=\sum_{\textcolor{aqua}{ \lambda_{i} }} e^{\textcolor{aqua}{ \lambda_{i} } x} \sum_{\textcolor{yellow}{ k=1 }}^{\textcolor{yellow}{ n_{i} }} C_{i,k}\; x^{\textcolor{yellow}{ k-1 }}

举例来说，有 $\begin{cases}\lambda_{1}=1\\\lambda_{2}=1,\\\textcolor{lime}{ \lambda_{3}=3+i}\\\textcolor{lime}{\lambda_{4}=3-i }\end{cases}$ , 就有

\begin{align*} y&=C_{1}e^{ x }+C_{2}xe^{x}+\textcolor{lime}{ C_{3}e^{ (3+i)x }+C_{4}e^{ (3-i)x } } \\ &=C_{1}e^{ x }+C_{2}xe^{x}+\textcolor{lime}{ e^{3x}(A\cos x+B\sin x) } \end{align*}

不重的根会被指数次数隔开，重的根会被额外的 $x$ 次数隔开。所有根的项被全部隔离，因此次数=常数个数。

欧拉公式转换#

多数教材会将复数根时的结论特化为三角函数形式，但我认为这样不够大一统而优雅，实际上求导也很麻烦。由欧拉公式:

e^{ i\theta }=\cos \theta+i \sin \theta

可得

\begin{align*} e^{(3+i)x}&=e^{3x}(\cos x+i\sin x) \\ e^{(3-i)x}&=e^{3x}(\cos x-i\sin x) \end{align*}

所以

\begin{aligned} &C_3e^{(3+i)x}+C_4e^{(3-i)x} \\ =&C_3e^{3x}(\cos x+i\sin x)+C_4e^{3x}(\cos x-i\sin x)\\ =&e^{3x}\left[\textcolor{yellow}{ (C_3+C_4) }\cos x+\textcolor{yellow}{ i(C_3-C_4) }\sin x\right]. \end{aligned}

令

A=\textcolor{yellow}{ C_3+C_4 },\quad B=\textcolor{yellow}{ i(C_3-C_4) },

也可写成

\boxed{e^{3x}(A\cos x+B\sin x)}

故此处的 $A,B$ 是在 $\mathbb{C}$ 上的。

实际记忆建议#

实际上对于实系数多项式，只要一个复根不是实数，它就一定以共轭对的形式出现。

这意味着只要它不出 $y'' + iy' -iy = 0$ 这样的雷霆式子(不会出的)，你所见到的所有复根就全部都是共轭的。也就是对于所有考点内的共轭根 $\alpha \pm i\beta$ , 通过如上转换，全部可以写成共通的格式:

e^{\alpha x}[A\cos (\beta x)+B\sin (\beta x)]

大部分教材将这个式子作为一个脱离于实根情况的背诵式，但确实不怎么好背，尤其是搞不清楚怎么来的的情况下。

特征根	通解
两个不等实根 $\lambda_1 \neq \lambda_2$	$y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}$
重根 $\lambda$	$y = (C_1 + C_2 x) e^{\lambda x}$
共轭复根 $\alpha \pm i\beta$	$y = e^{\alpha x}\left(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x\right)$

27330:198/90/★★★★☆#

求齐次线性微分方程 $y^{(4)} - 5y'' + 10y' - 6y = 0$ 满足初值条件 $y(0) = 1,\ y'(0) = 0,\ y''(0) = 6,\ y'''(0) = -14$ 的特解 $y(x)$ , 并求极限

\lim_{x\to 0}\frac{y(x) - 1 - 3x^2}{e^{\sin^3 x} - 1}

我们特色数二题就这么出。

前边是模板化微分方程(特征方程)，求出一个带未知数的，往后代变成极限题。生硬。

解

特征方程

\lambda^4 - 5\lambda^2 + 10\lambda - 6 = 0

试根 $\lambda = 1$ 、 $\lambda = -3$ 有理根定理，其实瞪眼就行，多项式长除法:

\lambda^4 - 5\lambda^2 + 10\lambda - 6 = (\lambda - 1)(\lambda + 3)(\lambda^2 - 2\lambda + 2)

故根为 $1,\ -3,\ 1 \pm i$ , 通解

y = C_1 e^x + C_2 e^{-3x} + e^x\left(C_3\cos x + C_4\sin x\right)

代入四个初值条件:

\begin{align*} &\begin{cases} y(0) &= C_1 + C_2 + C_3 &= 1 \\ y'(0) &= C_1 - 3C_2 + C_3 + C_4 &= 0 \\ y''(0) &= C_1 + 9C_2 + 2C_4 &= 6 \\ y'''(0) &= C_1 - 27C_2 - 2C_3 + 2C_4 &= -14 \end{cases} \\ \Longrightarrow\quad &\begin{cases} C_1 = -\frac12 \\ C_2 = \frac12 \\ C_3 = 1 \\ C_4 = 1 \end{cases} \\ \Longrightarrow\quad &y(x) = -\frac12 e^x + \frac12 e^{-3x} + e^x\left(\cos x + \sin x\right) \end{align*}

第二问: 初值条件已经给出 $y$ 在 $0$ 处的各阶导数，直接泰勒:

\begin{align*} &\begin{cases} y(0) &= \textcolor{lime}{ 1 } \\ y'(0) &= \textcolor{lime}{ 0 } \\ y''(0) &= \textcolor{lime}{ 6 } \\ y'''(0) &= \textcolor{lime}{ -14 } \end{cases} \\ y(x)= &\textcolor{lime}{ 1 } + \textcolor{lime}{ 0 }\cdot x + \textcolor{lime}{ 6 }\cdot\frac{x^2}{2} + \textcolor{lime}{ -14 }\cdot\frac{x^3}{6} + o(x^3) \\ = &1 + 3x^2 - \frac{7}{3}x^3 + o(x^3) \end{align*}

分子 $y(x) - 1 - 3x^2 = -\dfrac{7}{3}x^3 + o(x^3)$ .

分母路边小式直接等价 $e^{\sin^3 x} - 1 \sim x^3$ .

\lim_{x\to 0}\frac{y(x) - 1 - 3x^2}{e^{\sin^3 x} - 1} = -\frac{7}{3}

一阶线性非齐次特解#

适用范围:

一阶变系数线性齐次/非齐次方程

即 $y' + p(x)y = q(x)$ , 和可化为此式形式的方程

y' + p(x)y = q(x)

对于这类方程，解是

y = e^{-\int p\,dx}\left(\int q\,e^{\int p\,dx}\,dx + C\right)

？

其实我不会背这个公式。我草纸上一般这么写:

推导:

对于微分方程 $y'+p(x)y=q(x)$ , 设 $\mu(x)=e^{\int p\,dx}$ , 注意以下 $y,p,q,\mu$ 全部都是 $x$ 的函数，导和积也都关于 $x$ :

\begin{align*} y'+py&=q \\ (y'+py)\cdot \mu&=q\cdot \mu \\ \left(y\,\mu\right)'&=q\cdot \mu \\ y\mu&=\int\left[ q\cdot \mu \right]dx \\ y&=\frac{1}{\mu}\int\left[ q\cdot \mu \right]dx \\ \end{align*}

若 $q \equiv 0$ 退化为齐次，公式可以照用。实际上流程会退化为简单分离变量。

TIP
还有一种等价做法叫常数变易法: 先解齐次得 $y = Ce^{-\int p\,dx}$ , 再把 $C$ 变成函数 $C(x)$ 代回原方程定它。

二阶线性非齐次特解#

适用范围:

二阶常系数线性非齐次方程

即 $y'' + ay' + by = f(x)$ , 和可化为此式形式的方程

对于任意一个二阶常系数线性非齐次方程 $y'' + ay' + by = f(x)$ , 其通解满足:

y=y_{h}+y^*

其中:

$y_{h}$ 是二阶常系数线性齐次方程 $y'' + ay' + by=0$ 的通解，此处称为齐次通解。先求其次通解是必须的，下文视为已知。
$y*$ $y *$ 是本节要得到的特解。
- 对于齐次方程, $y_{h}=0$ 一定是一个解。
- 由此又有对于非齐次方程, $y=y^*$ 一定是一个解。

注意，特解可能不是唯一的，因为齐次通解含有两个任意常数，所以特解可能会在齐次通解构成的空间中加上特定的 $C$ 倍通解。

那么特解怎么找？待定系数法，数二只考一种形状:

f(x) = P_n(x)\,e^{\lambda x}

其中 $P_n$ 是 $n$ 次多项式（ $\sin/\cos$ 先用欧拉公式写成 $e^{i\omega x}$ 归入此类）。设特解

y^* = x^k\,Q_n(x)\,e^{\lambda x}

$Q_n$ 是与 $P_n$ 同次的多项式，系数待定；
$k$ 是 $\lambda$ 作为特征根的重数: 不是特征根取 $0$ , 单根取 $1$ , 重根取 $2$ 。

举例来说:

$y'' - 3y' + 2y = e^x$ $y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = e^{x}$ , $r=1, 2$ $r = 1, 2$ , $\lambda = 1$ $λ = 1$ , 是单根
- $P_{n}(x)=1$ , $Q_{n}(x)=A$ .
- 设 $y^*=x\cdot A e^x$ . 代入得
- ${y^*}'' - 3{y^*}' + 2y^* =Ae^x\big[(2 + x) - 3(1 + x) + 2x\big] = -Ae^x = e^x$ .
- 解得 $A = -1$ $A = - 1$ , $y^*=-xe^x$ $y^{*} = - x e^{x}$ .
  - 又有 $y_{h}=C_1 e^x + C_2 e^{2x}$ ,
- $y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} - x e^x$ .
$y''+y=(12x^2+4x)\sin x$ $y^{''} + y = (12 x^{2} + 4 x) sin x$ , $r=\pm i$ $r = \pm i$ , $\lambda=i$ $λ = i$ , 是单根
- $P_{n}(x)=12x^2+4x$ , $Q_{n}(x)=Ax^2+Bx+C$ .
- 设 $z^*=x(Ax^2+Bx+C)(e^{ix})=x(Ax^2+Bx+C)(\cos x+i\sin x)$ . 代入得
- ${z^*}''+z^* = [(6iA)x^2+(6A+4iB)x+(2B+2iC)]e^{ix} = (12x^2+4x)e^{ix}$
- 解得 $A=-2i,\ B=3-i,\ C=1+3i$ $A = - 2 i, B = 3 - i, C = 1 + 3 i$ .
  - 又有 $y_h=C_1\cos x+C_2\sin x$ ,
  - 由于 $e^{ ix }=\cos x+i\sin x$ , 原式为 $\sin x$ , 取 $z$ 虚部作为 $y^*$ , 有
- $y=C_1\cos x+C_2\sin x+(3x^2+x)\sin x+(-2x^3-x^2+3x)\cos x$
$y'' + y = \sin x$ $y^{''} + y = sin x$ 。 $r=\pm i$ $r = \pm i$ , $\lambda = i$ $λ = i$ , 是单根
- $P_{n}(x)=1$ , $Q_{n}(x)=A$ .
- 设 $y^* = x(A\cos x + B\sin x)$ . 代入得
- ${y^*}''+y^* = -2A\sin x + 2B\cos x = \sin x$ .
- 解得 $A = -\frac12,\ B = 0$ $A = - \frac{1}{2}, B = 0$ .
  - 又有 $y_{h}=C_1\cos x + C_2\sin x$
- $y = C_1\cos x + C_2\sin x - \frac{x}{2}\cos x$

叠加原理#

设 $L[y] = y'' + p(x)y' + q(x)y$ 。线性性带来三条推导:

齐次解的线性组合仍是齐次解
- $L[y_1] = L[y_2] = 0 \Rightarrow L[c_1 y_1 + c_2 y_2] = 0$ 。齐次解集是一个线性空间。
非齐次特解可叠加
- $L[y_1] = f_1,\ L[y_2] = f_2 \Rightarrow L[y_1 + y_2] = f_1 + f_2$
- 所以 $f = f_1 + f_2$ 时，两个特解相加就是整体特解。
- 待定系数法对每一项分别设、分别算。
反向应用
- $y_1, y_2$ 是 $L[y] = f$ 的两个特解 $\Rightarrow$ $L[y_1 - y_2] = 0$
- 即两个特解之差是齐次解。

再次强调: 非齐次通解=齐次通解+一个特解。 $y=y_{h}+y^*$ .

27330:196/90/★★★★☆#

设 $y_1 = 2x^4 + x^2$ 、 $y_2 = 2x^4 - x^2$ 是微分方程 $y' + p(x)y = \dfrac{q(x)}{p(x)}$ 的两个特解。

(1) 求 $p(x), q(x)$ ； (2) 求此方程满足初值条件 $y(1) = 5$ 的特解； (3) 若 $y(x)$ 是(2)中的解，且 $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{y(x)}{ax^4 + bx} = 2$ , 求 $a, b$ 的值。

全程没给 $p, q$ 的表达式，但是给了两个特解，等于给了通解。

解

(1).

两特解相减所得的齐次解 $y_1 - y_2 = 2x^2$ 是原方程的齐次方程 $y' + p(x)y = 0$ 解. 代入得:

(2x^2)' + p(x)\cdot 2x^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad p(x) = -\frac{2}{x}

$y_1$ 是原方程的解:

y_1' + p(x)y_1 = 8x^3 + 2x - \frac{2}{x}\left(2x^4 + x^2\right) = 4x^3 = \frac{q(x)}{p(x)}

故有:

\boxed{p(x) = -\frac{2}{x},\qquad q(x) = p(x)\cdot 4x^3 = -8x^2}

问题二回归到普通的微分方程初值环节，而且是从已经求出齐次解和特解开始的

(2).

$y=y_{h}+y^*$ , 即:

\begin{align*} y(1)&=5&\quad y&=y_1+C\cdot2x^2\\ 2+1+2C&=5&&=2x^4+x^2+2Cx^2\\ C&=1&&=2x^4+3x^2\\ \end{align*}

(3) $y = 2x^4 + 3x^2 \sim 2x^4$ ( $x \to \infty$ ). 为使 $\dfrac{y}{ax^4 + bx} \to 2$ , 分母必须与分子同阶，故 $a = 1$ ；而分子没有一次项， $b$ 的取值不影响极限。

$a = 1,\quad b\ \text{为任意常数}$

*这里的 $b$ 确实取不出来。

超级拼装微积分混合大方程#

你也看过上面那道题了，除了求微分方程通解和初值特解，它还做了的一件事是生硬地把这个解放到极限里形成一个条件让你求未知数。

真正的boss题长得不像微分方程。方程里有积分号（变限积分方程）、求完函数还要算极限、或者条件全是几何语言。上面的微分方程只是boss的一个独有机制，真正要做到这里需要百法皆通。那么接下来就是我们最喜欢的:

方法论:

含初始变限积分条件的方程一般比求导后的微分方程更丰富，主要丰富在初值条件上。比如题目出现 $\int_{1}^x f(t)\,dt$ $\int_{1}^{x} f (t) d t$ 或者 $(x-1)f''(x)$ $(x - 1) f^{''} (x)$ 这种送上门的肥肉, 那你就应该分别做两件事:
- 把 $x=1$ 带进方程去试试，发现隐藏初值关系。
- 求导，发现可解的微分方程。莱布尼茨法则见积分学其五
我说开始雷霆大推导之前，一定要整理好初始条件，任何时候卡壳了就要去看初始条件。我上这么多色就是为了看清每个初始条件和派生条件的使用位置的。
- 同样要有在微积分方程化成纯微分方程之前每个初值条件都要榨干的意识。

这是针对大微积分方程的方法论。那有没有针对其他的呢？很遗憾没有，因为其他的组合要么生硬得简单，要么神秘诡异到怀疑人生不适合举为方法论。

27330:201/90/★★★★☆#

设当 $x \geqslant 0$ 时 $f(x)$ 有一阶连续导数，并且满足

f(x) = -1 + x + 2\int_0^x (x - t)f(t)f'(t)\,dt

求当 $x \geqslant 0$ 时的 $f(x)$ 。

变限积分方程。 $(x - t)$ 这个核求一次导变成 $\int_0^x ff'$ , 还没消干净——所以要求两次导。初值 $f(0)$ 直接代原方程， $f'(0)$ 代一阶导后的式子。

解

代 $x = 0$ 可得 $\textcolor{pink}{ f(0) = -1 }$ .

两边求导代 $x=0$ 可得 $f'(x) = 1 + 2\int_0^x f(t)f'(t)\,dt$ .

代 $x=0$ 可得 $\textcolor{aqua}{ f'(0) = 1 }$ .

我们希望对 $f'(x)$ 再次求导。注意到 $f'(x)$ 右侧积分式中是连续的，且积分内包括 $f'(x)$ 的整体是连续的，故 $f'(x)$ 是可导的。

再求导可得 $\textcolor{lime}{ f''(x) = 2f(x)f'(x) }$ . 则有:

\begin{align*} \textcolor{lime}{ f''} &\textcolor{lime}{= 2ff' } \\ f'' &= (f'^2)' \\ f' &= f^2+C\quad\begin{cases} \textcolor{aqua}{ f'(0)=1 } \\ \textcolor{pink}{ f(0)=-1 } \\ \implies C=0 \end{cases} \\ f'&=f^2 \\ -\frac{1}{f}=&x+C_{2}\quad\begin{cases} \textcolor{pink}{ f(0)=-1 } \\ \implies C_{2}=1 \end{cases} \\ f(x) = -\frac{1}{x + 1} \end{align*}

27330:195/90/★★★★☆#

设函数 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上可导， $f(1) = 0$ , 且满足

\textcolor{yellow}{ x(x+1)f'(x) - (x+1)f(x) + \int_1^x f(t)\,dt = x - 1 }

求 $\textcolor{aqua}{ \displaystyle\int_1^2 f(x)\,dx - 3f(2) } + \textcolor{lime}{ \lim_{x\to 1}\frac{\displaystyle\int_1^x \frac{\sin(t-1)^2}{t-1}\,dt}{f(x)} }$ 。

我们敏锐地注意到要的东西中, $\textcolor{aqua}{ \int_1^2 f - 3f(2) }$ 恰好是原方程在 $x = 2$ 处的左边

代 $x = 1$ 可得 $\textcolor{pink}{ f'(1) = 0 }$

两边求导可得 $x(x+1)f'' + xf' = 1$ , 令 $u = f'$ , 解微分方程得 $(x+1)u = \ln x + C$ , 代入 $\textcolor{pink}{ u(1) = f'(1) = 0 }$ 得 $C = 0$ .

整理即: $u=\textcolor{salmon}{ f'(x) = \dfrac{\ln x}{x + 1} }$ .

注意该式不可初等积，因此我们会开始考虑使用其他方法凑出我们需要的 $\textcolor{aqua}{ \int_1^2 f - 3f(2) }$ .

原式代 $x=2$ 得:

\begin{align*} \textcolor{yellow}{ x(x+1)f'(x) - (x+1)f(x) + \int_1^x f(t)\,dt }&\textcolor{yellow}{ = x - 1 } \\ 6f'(2) - 3f(2) + \int_1^2 f(t)\,dt &= 1 \\ \textcolor{aqua}{ \displaystyle\int_1^2 f(x)\,dx - 3f(2) } &= 1-6\textcolor{salmon}{ f'(2) } \\ &=1-6\cdot\frac{\ln 2}{2+1} \\ &=1-2\ln 2 \end{align*}

又有极限:

\begin{align*} \textcolor{lime}{ \lim_{x\to 1}\frac{\displaystyle\int_1^x \frac{\sin(t-1)^2}{t-1}\,dt}{f(x)} }&\stackrel{\textcolor{dodgerblue}{ L' }}{=}\lim_{x\to1}\frac{\dfrac{\sin(x-1)^2}{x-1}}{\textcolor{salmon}{ f'(x) }} \\ &=\lim_{x\to 1}\frac{\dfrac{\sin(x-1)^2}{x-1}}{\textcolor{salmon}{ \dfrac{\ln x}{x + 1} }} \\ &=\lim_{x\to 1}\,(x+1) \\ &=2 \\ \end{align*}

最终有:

\textcolor{aqua}{ \int_1^2 f(x)\,dx - 3f(2) } + \textcolor{lime}{ \lim_{x\to 1}\frac{\int_1^x \frac{\sin(t-1)^2}{t-1}\,dt}{f(x)} } = 1 - 2\ln 2 + 2 = 3 - 2\ln 2

27330:217/90/★★★★☆#

设在 $xOy$ 平面的第一象限中有曲线 $\Gamma: y = y(x)$ , 过点 $\textcolor{aqua}{ A(0, \sqrt{2} - 1) }$ , $\textcolor{yellow}{ y'(x) > 0 }$ 。 $M(x, y)$ 为 $\Gamma$ 上任意一点，满足”弧段 $AM$ 的长”与” $\Gamma$ 在点 $M$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距”之差为 $\sqrt{2} - 1$ , 求此曲线。

我们要构造的是 $y=y(x)$ 在 $x\geq0$ , $y\geq0$ , 且:

弧段 $AM$ 的长 (记为 $\textcolor{dodgerblue}{ A(x) }$ ) 与

$\Gamma$ 在点 $M$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距 (记为 $\textcolor{springgreen}{ B(x) }$ )

之差为 $\sqrt{2} - 1$ .

$\textcolor{dodgerblue}{ A(x) }-\textcolor{springgreen}{ B(x) }=\sqrt{ 2 }-1$ .

显然 $\textcolor{aqua}{ A(0)=0 }$ , $\textcolor{yellow}{ y'(x) > 0 }$ , 函数向上, 截距 $B(0)=1-\sqrt{2}$ .

弧段 $AM$ 的长: $\textcolor{dodgerblue}{ A(x) = \int_0^x \sqrt{1 + \left(y'(t)\right)^2}\,dt}$ .

$M$ 处切线写作 $Y - y = y'(X - x)$ , 令 $Y = 0$ 得 $x$ 轴截距 $\textcolor{springgreen}{ B(x) = x - \frac{y}{y'}}$ .

则有:

\begin{align*} \textcolor{dodgerblue}{ \int_0^x \sqrt{1 + \left(y'(t)\right)^2}\,dt}-\textcolor{springgreen}{ x - \frac{y}{y'}}&=\sqrt{ 2 }-1 \quad \begin{cases} \implies\textcolor{salmon}{ y'(0)=1 } \end{cases} \tag{1}\\ \sqrt{1 + y'^2} - \frac{yy''}{y'^2}&=0\quad \begin{cases} p(y)=y' \\ y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dy}{dx}\frac{dp}{dy} = p\frac{dp}{dy} \end{cases} \tag{2}\\ \sqrt{1 + p^2} - \frac{y\,p'}{p^2} &= 0 \\ \int\frac{dp}{p\sqrt{1 + p^2}} &= \int\frac{dy}{y} \tag{3}\\ \ln\frac{\sqrt{1 + p^2} - 1}{p}&=\ln y+C \tag{4}\\ \frac{\sqrt{1 + p^2} - 1}{p} &= Cy\quad \begin{cases} \textcolor{aqua}{ y(0)= \sqrt{ 2 }-1 } \tag{5}\\ \textcolor{salmon}{ y'(0)=1 } \\ \implies C=1 \end{cases} \\ \frac{\sqrt{1 + p^2} - 1}{p} &= y \\ p &= \frac{2y}{1 - y^2} \qquad\text{(恩这个确实能求出来)} \tag{6}\\ \int\frac{1 - y^2}{2y}\,dy &= \int dx \tag{7}\\ \frac12\ln y - \frac{y^2}{4} + C_{2} &= x\quad\begin{cases} \textcolor{aqua}{ y(0)= \sqrt{ 2 }-1 } \\ \implies C_{2}=\frac{1}{2}\ln(\sqrt{2} + 1) + \frac{3 - 2\sqrt{2}}{4} \end{cases} \tag{8}\\ x &= \frac{1}{2}\ln\bigl(y\cdot(\sqrt{2}+1)\bigr) - \frac{y^2}{4} + \frac{3-2\sqrt{2}}{4} \end{align*}

由于 $\textcolor{yellow}{ y'(x)>0 }$ , 原式在定义域上必定有反函数。 $\sqrt{2}-1 \leqslant y < 1$ .

虽然过程看起来很epic，但实际上没多少卡壳点。

原式的列出。用到积分的应用和基本求切线。

纯微分方程。遵循本章基础套路套换元即可，没理由不会。

简单的式子整理。要注意 $p'=\frac{dp}{dy}$ , 知道自己在做什么就不会错。

用到一个有点难度的基本的积分。这个积分我其实记过，三角换元和倒代换都可以殺。点击前往第一篇笔记: 常见的积分

带未知数的微分方程。要看初始条件。

这个不敢笑我也卡壳了。因为一定要把 $p$ 提取出来才能进行下一步，但是这个东西长得实在太恐怖了，没想到真的能拆出来。

简单的式子整理。要注意 $p=y=\frac{dy}{dx}$ , 知道自己在做什么就不会错。

最后这个 $C_{2}$ 确实很折磨人，估计是出题没配好数字，但也不至于算不出来。

总的来说，没有诡异的注意到，全都是基础知识的组合。

尾声#

数二高数到此完结，撒花。

（方法论的坑还妹填。会记得的。。。）

之后进入九月开始刷真题，我会继续丰富这些笔记的案例，方法论成熟后自会发出来的

絵夢の小站

微分方程#

线性性#

线性齐次性#

代数齐次性#

常系数性#

分离变量法#

分离变量法#

齐次方程#

线性变换#

第一类可降阶的二阶方程#

第二类可降阶的二阶方程#

齐次线性#

特征方程法#

特征方程#

欧拉公式转换#

实际记忆建议#

27330:198/90/★★★★☆#

一阶线性非齐次特解#

二阶线性非齐次特解#

叠加原理#

27330:196/90/★★★★☆#

超级拼装微积分混合大方程#

27330:201/90/★★★★☆#

27330:195/90/★★★★☆#

27330:217/90/★★★★☆#

尾声#