【学习笔记】数学笔记其五 · 一元函数积分学【上】

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如果说极限是纯计算技巧、微分学是纯理论技巧, 那积分学就是集两者之长：它会考比极限更难的计算, 公式、技巧又多得多；又要考理论, 包括定义、中值、 $\varepsilon-\delta$ , 和微分不相上下。

积分我分为四类题型：

计算。最大的领域, 包括简单的不定积分和定积分计算.涉及大量方法和公式.高数最长的河。
分析。比如比大小和单调等.在基本计算的基础上进行分析, 可拉可神。
中值。堪比微分, 下期会见。
应用。包括旋转体和我们数二独有的物理题, 下期见。

本期（上）只说计算。计算是后面一切的根本。虽然知识体系上可能有点像极限那期。这期是我做过积分方法里最完整，也是我认为讲述最结构化(至今)的一期。

基础与基本性质#

因式分解与分式裂项#

对于被积函数为有理分式（多项式之比）的情形, 基本策略是先判断是否为假分式(即分子次数>=分母次数)，对假分式进行多项式长除法考虑到在初中教纲删掉之后很多大学生甚至没正经学过，故贴一个站外教程在这里, 将其拆为多项式部分+真分式部分；多项式部分直接积分, 真分式则使用裂项法.

\frac{P(x)}{Q(x)} = S(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}

裂项法的本质是将一个复杂分式分解为若干分母为一次或二次不可约多项式的简单分式之和，每一单项均可通过基本积分公式或简单的换元完成，这个过程是机械的，也证明多项式的可积性。具体方法不在此细说，B站可以轻松找到一大把教程。

其中, 我要特别强调平方差公式 $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ 是最高频的工具.大量积分的分式在配方或换元后会暴露形态各异的平方差结构, 从而得以裂项简化.辨识并主动往平方差上靠，尽管看起来可能生硬，但往往都是正确的. 注意根号下的除外，那种情况下很可能还是三角代换更好 [27330: 98, 100] 如:

\begin{align*} I &= \int \frac{x^4}{x^2+1}\arctan x \, dx \\ &= \int \left( x^2 - 1 + \frac{1}{x^2+1} \right)\arctan x \, dx \\ &= \int (x^2 - 1)\arctan x \, dx + \int \frac{\arctan x}{x^2+1} \, dx. \\ \end{align*}

前项分部、后项凑微分不提。

夹逼准则#

夹逼准则基本绑定于极限与积分的混合式题型, 被积函数中含有 $n$ 这样的离散参数, 极限难以直接求得. 典型模式是求 $\lim_{n\to\infty} \int_{a}^{b} f_n(x)\, dx$ . [27330: 123, 126]

与极限篇相同，主要矛盾都在于上下界的构造.常见的构造思路有利用函数单调性找到区间上的最大值和最小值、利用基本不等式(部分可由泰勒推得)如 $x - \frac{x^3}{6} < \sin x < x \quad (x>0)$ 等放大或缩小、将复杂函数瞪眼法替换为更简单的函数, 例如将 $\sqrt{1+x}$ 在 $x\ge0$ 时放大为 $1+x>\sqrt{ 1+x }$ .

对称区间与奇偶性#

对于对称区间 $[-a, a]$ 上的定积分, 奇偶性可以直接给出巨大的简化.设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上可积：

若 $f(x)$ 为偶函数（ $f(-x) = f(x)$ ）, 则 $\int_{-a}^{a} f(x)\, dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\, dx$ ；
若 $f(x)$ 为奇函数（ $f(-x) = -f(x)$ ）, 则 $\int_{-a}^{a} f(x)\, dx = 0$ .

当积分限包含正负对称区间时, 应先花几秒钟判定奇偶性, 可能直接得到零或简化积分区间, 省去大量运算.

注意一个常见的变体是对非对称区间上具有某种平移对称的函数. 例如 $\int_{0}^{2a} f(x)\, dx$ 不是对称区间, 但若 $f(x)$ 满足 $f(2a-x) = -f(x)$ （关于 $x=a$ 奇对称）, 则通过换元 $t = 2a - x$ 可以导出 $\int_{0}^{2a} f(x)\, dx = 0$ . 显然这种偏移对称性比显然的奇偶性更好做文章. [27330: 100]

积分的几何意义#

定积分 $\int_a^b f(x)\, dx$ 最基本的几何意义是曲线 $y = f(x)$ 与 $x$ 轴在 $[a, b]$ 上所围的有向面积, $x$ 轴上方为正, 下方为负.这意味着我们可以将某些定积分的计算转化为对几何图形面积的直接观察, 省去繁琐的代数运算.

最经典的情形是半圆面积. 被积函数中含有 $\sqrt{r^2 - x^2}$ 时, 显然观察到这是一个半径为 $r$ 的半圆, 于是 $\int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\, dx = \frac{1}{2}\pi r^2$ 可以直接写出, 无需三角换元. 类似地, $\sqrt{r^2 - (x-h)^2}$ 对应圆心平移到 $(h, 0)$ 的上半圆.

此外, 一些更隐蔽的几何意义也值得留意.例如 $\int_0^a \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\, dx$ 是曲线弧长（见下期应用部分）, $\int_a^b x\, dy$ 与坐标轴围成的面积有时更方便计算.

对于 [27330: 123] , 如果你发现了这就是最大值函数( $x$ 和 $1-x$ 的无穷范数), 那么可以从几何视角快速得到直觉, 从而快速想到分段处理.

不过拿分最好还是老实夹逼.

不定积分的奇点处理#

这是求积分的一个基本原则

对于连续不可微奇点，函数在一点不可微，也就不能积分法则. 比如 $f(x)=|x|$ . 很自然地，我们能想到分段处理，这没有错.

但是，对于连续不可微的点，两段必须一个取相同的常数. 因为积分天然是连续的. 这要求我们用常数拼接出连续性. 读者尝试 $\int\mathrm{max}\{1,x^2\} dx$ . 答案::spoiler[函数三段的常数逐个差2/3]

对于任意间断点，两侧则可以取得不同的常数 $C$ . 所以严格来说：

\int \frac{1}{x} \, dx = \begin{cases} \ln(-x) + C_1, & x < 0 \\[6pt] \ln(x) + C_2, & x > 0 \end{cases}

[27330: 109, 110]

凑微分和换元法#

这是求积分的基本方法之一

我注意力涣散，凑微分凑不出来怎么办？

凑微分的原理是复合函数求导的逆运算。它与变量代换法（无论是 $x=\psi(t)$ 还是 $u=\varphi (x)$ ）本质都完全相同。

凑微分要求：若被积函数具有 $f(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x)$ 的形式, 则令 $u = \varphi(x)$ , 由于 $\varphi'(x)dx = du$ , 积分变为 $\int f(u)\, du$ . 至于怎么看出来这个 $\varphi$ 和 $\varphi'$ 你别管。

变量代换法要求：显式地将积分转化为关于 $t$ 的积分.我们用例子 $\int \frac{\sin x \cos x}{1+\sin^2 x} \, dx$ 展示：

\begin{align*} \int \frac{\sin x \cos x}{1 + \sin^2 x} \, dx &= \frac12 \int \frac{2 \sin x \cos x}{1 + \sin^2 x} \, dx \\ &= \frac12 \int \frac{d(1 + \sin^2 x)}{1 + \sin^2 x} \\ &= \frac12 \ln(1 + \sin^2 x) + C. \end{align*}

\begin{align*} \int \frac{\sin x \cos x}{1 + \sin^2 x} \, dx &= \int \frac{\frac{1}{2} dt}{t} \qquad \begin{cases} t = 1 + \sin^2 x, \\ dt = 2\sin x \cos x \, dx, \\ \end{cases} \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} \, dt \\ &= \frac{1}{2} \ln|t| + C \\ &= \frac{1}{2} \ln(1 + \sin^2 x) + C. \end{align*}

[27330: 95, 101]

区间再现#

这是一种被换元法知识点覆盖，但过于常见的考点

在上下界 $\int_{a}^b$ 的条件做代换 $x = a + b - t$ . 在此代换下：

积分限 $a$ 与 $b$ 互换（导出负号） - $dx = -dt$ （导出负号，抵消）
被积函数 $f(x)$ 净变为 $f(a+b-x)$ 的变换.

即令 $t$ 从 $b$ 到 $a$ 反着跑一遍原区间. 于是我们得到关键等式：

\int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(a+b-x)\, dx

一方面, 我们大概率经常会见到题目中的 $\int_{0}^x f(x-t) dt$ , 像这种白骨精我们可以不用换元，直接化成 $\int_{0}^x f(t)dt$ 就行了。

另一方面, 这个等式的威力在于将原积分 $I$ 与变换后的积分相加, 常常能凑出常数或简化形式 $2I = \int_a^b [f(x) + f(a+b-x)]\, dx$ 从而求出 $I$ . 或者通过其他方式运算一番常常有所帮助. 这类题型辨识度较高, 一旦认出思路非常确定.

区间再现最经典的应用之一是证明 $\int_0^{\pi/2} \sin^n x\, dx = \int_0^{\pi/2} \cos^n x\, dx$ , 读者自证不难.

[27330: 106]

不得不提的是，在特定的上下界 $0,\infty$ 上还有倒代换 $x=\frac{1}{t}$ ，也能起到很像区间再现的作用：

\int_0^\infty f(x)\,dx = \int_0^\infty \frac{1}{x^2} f\left(\frac{1}{x}\right)\,dx

另外此处我特别提醒一下：

\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \begin{cases} \dfrac{\pi}{2}, & x > 0, \\[8pt] -\dfrac{\pi}{2}, & x < 0. \end{cases}

三角换元#

这是一种十分常见的换元方法，将根式化为三角函数

当积分式里出现 $\sqrt{a^2 \pm x^2}$ 或 $\sqrt{x^2 \pm a^2}$ 时, 九九成就得三角换元了.

基本思想是：利用三角恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 及其衍生形式 $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ 和 $\sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta$ , 消去平方加减结构中的根号.具体来说：

原式	设
$\sqrt{a^2 - x^2}=a\cos t$	$x = a\sin t, \;dx=a\cos t$
$\sqrt{a^2 + x^2}=a\sec t$	$x = a\tan t, \;dx=a\sec^2 t$
$\sqrt{x^2 - a^2}=a\tan t$	$x = a\sec t, \;dx=a\tan t\sec t$

回代时你会发现 $\cos t, \tan t$ , 但你手里只有 $x = a\sin t$ .此时你就需要画一个直角三角形, $t$ 作为一个锐角, 写出各边的比值, 从而将关于 $t$ 的三角函数转化为 $x$ 的表达式, 如 $\cos t=\frac{\sqrt{ a^{2}-x^{2} }}{a}$ .忘说了, 我其实建议使用 $\theta$ .

此外, $\sqrt{ax^2 + bx + c}$ 型可以通过配方化为 $\sqrt{(\text{线性式})^2 \pm m^2}$ 再进行换元如 $ax+b=\sin t$ .

万能代换#

这是一种十分常见的换元方法，将三角函数化为有理函数

凡是三角函数有理式且其他方法均不便时, 可用万能代换将其转化为 $t$ 的有理函数积分.

\begin{align*} t &= \tan\frac{x}{2} \\ dx &= \frac{2}{1 + t^2}\,dt \\ \sin x &= \frac{2t}{1 + t^2} \\ \cos x &= \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \\ \tan x &= \frac{2t}{1 - t^2} \end{align*}

注意万能代换虽然万能，但一般你都走到这一步了，往往分母次数也都很高，计算量巨大。而且最重要的是，它的基本逻辑是将三角函数函数转化为有理函数。如果你是从有理函数转化过来又没做任何进一步推导，很可能万能代换回去是一模一样的。一方面它可以作为最终手段使用，但另一方面，一些看似简单但无从下手的也可以尝试用万能代换无脑解决。

\begin{align*} \int \csc x \, dx &= \int \frac{1}{\sin x} \, dx \qquad \begin{cases} t = \tan\frac{x}{2} \\ dx = \frac{2}{1+t^2}\,dt,\\ \sin x = \frac{2t}{1+t^2} \end{cases} \\ &= \int \frac{1+t^2}{2t} \cdot \frac{2}{1+t^2} \, dt \\ &= \int \frac{1}{t} \, dt = \ln|t| + C \\ &= \ln\left|\tan\frac{x}{2}\right| + C. \end{align*}

关于csc这个例子……

这里有另一种做法，一般来说这才是正宗做法

\begin{align*} \int \frac{dx}{\sin x} &= \int \csc x \, dx \\ &= \int \frac{\csc x (\csc x - \cot x)}{\csc x - \cot x} \, dx \\ &= \int \frac{\csc^2 x - \csc x \cot x}{\csc x - \cot x} \, dx \\ &= \int \frac{1}{\csc x - \cot x} \, d(\csc x - \cot x) \\ &= \ln|\csc x - \cot x| + C. \end{align*}

答案是等价的。

双曲换元#

这是一种少见的换元方法，作为高阶秒杀招使用

双曲函数 $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ 、 $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ 、 $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$ 满足与三角函数平行但略有不同的恒等式.最核心的是 $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ （注意是减号而不是加号）, 其衍生形式为 $\sinh^2 x + 1 = \cosh^2 x$ 和 $1 - \tanh^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}$ .与三角恒等式相比, 双曲恒等式中正负号的位置不同, 这恰好使其在另一种积分场景下成为自然之选.

在三角换元中, 我们用 $\sin t$ 消 $\sqrt{a^2 - x^2}$ , 用 $\tan t$ 消 $\sqrt{a^2 + x^2}$ .双曲换元则提供了另一种可能性：令 $x = a\sinh t$ 消 $\sqrt{a^2 + x^2}$ （此时 $\sqrt{a^2 + a^2\sinh^2 t} = a\cosh t$ ）, 或令 $x = a\cosh t$ 消 $\sqrt{x^2 - a^2}$ （ $\sqrt{a^2\cosh^2 t - a^2} = a\sinh t$ ）.与三角换元相比, 双曲换元的导数和回代均更为简单直接（ $\sinh' = \cosh$ , $\cosh' = \sinh$ , 没有负号干扰）, 但代价是需要熟悉双曲函数的微积分公式. 这些公式和普通三角比绝大多数都只加了一两个负号, 但要熟练使用也够你喝一壶的.

实际考试中, 双曲换元并非必需, 更多是三角换元的补充手段——对于某些特定的根式, 双曲可以硬吃 [27330: 93], 但有时代价反而比三角更大 [27330: 101] (毕竟绝大多数题目是设计给一般考生准备的). 判断标准通常是看换元后的积分是否更简单, 任选其一即可.

前往【学习笔记】数学笔记其二 · 三角函数#双曲函数

消耗三角函数#

这属于应有的基本计算能力

消耗三角函数, 指的是对形如 $\int \sin^m x \cos^n x\, dx$ 的被积函数进行降次或消去.这一部分其实等同于三角函数函数的积分方法.当我们已经将扩展三角函数和 $\tan$ 转为倒数之后, 我们可以往下看.

最常见的sin^m x cos ^n x#

当 $m, n$ 中至少有一个为奇数时, 可以抽出来一个去凑微分.例如 $\int \sin^2x \cos^3x\, dx$ , 剥出一个 $\cos x$ 与 $dx$ 组合成 $d(\sin x)$ , 剩余 $\cos$ 通过简单变换转为 $\cos^2x = 1 - \sin^2 x$ , 由此转化为 $\sin x$ 的多项式.对称地, 若 $\sin x$ 是奇数幂, 则剥出 $\sin x$ 凑成 $-d(\cos x)$ .

当 $m, n$ 均为正偶数时, 可以通过降幂公式反复降次:

\begin{align*} \sin^2x &= \frac{1 - \cos 2x}{2} \\ \cos^2x &= \frac{1 + \cos 2x}{2} \end{align*}

每次应用都将次数减半并引入倍角, 最终将化为若干 $\sin kx$ 或 $\cos kx$ 的线性组合, 逐项积分即可.

那么如果这是换元后的结果(如 $x=\sin t$ )，结果出现的 $\sin 2t$ 和 $\cos 2t$ 如何回代呢？不要试图强解 $\sin 2t = \sin(2\arcsin x)$ . 原则上我们只需要将它们还原回 $\sin t$ 和 $\cos t$ 表示的形式。比如 $\cos 2t$ ，用升幂公式反回去： $\cos 2t=1 - 2\sin^2 t$ . $\sin 2t$ 则需要 $\sin 2t=2\sin t\cos t$ . 总的来说还是高中数学.

tanx和secx主导时#

对于 $\tan^n x$ 或 $\sec^n x$ , 通常利用以及两组凑微分关系, 逐步降次到能积为止.

大部分情况会使用凑微分结合 $1 + \tan^2x = \sec^2x$ 互转，两组关系如下：

\begin{align*} \sec x \tan x\, dx &= d(\sec x) \\ \sec^2x\, dx &= d(\tan x) \end{align*}

又有两个最好背下来的基本公式

\begin{align*} \int \tan x \, dx &= \ln|\sec x| + C \\ \int \sec x \, dx &= \ln|\sec x + \tan x| + C \end{align*}

就基本可以做了。例如有：

\begin{align*} \int \sec^3 x \, dx&= \int \underbrace{\sec x}_{u} \cdot \underbrace{\sec^2 x \, dx}_{dv} \\ &= \underbrace{\sec x}_{u} \cdot \underbrace{\tan x}_{v} - \int \underbrace{\tan x}_{v} \cdot \underbrace{(\sec x \tan x \, dx)}_{du} \\ &= \sec x \tan x - \int \sec x \tan^2 x \, dx \\ &= \sec x \tan x - \int \sec x \underbrace{(\sec^2 x - 1)}_{\tan^2 x} \, dx \\ &= \sec x \tan x - \int \sec^3 x \, dx + \int \sec x \, dx \\ &= \sec x \tan x - \underbrace{\int \sec^3 x \, dx}_{I} + \int \sec x \, dx \\ 2\int \sec^3 x \, dx &= \sec x \tan x + \int \sec x \, dx \\ &= \sec x \tan x + \ln|\sec x + \tan x| + C_1 \\ \int \sec^3 x \, dx &= \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C \end{align*}

最吃时间的部分来了。做得多的同学可以开始背常见结论了。

华里士公式#

华里士公式（Wallis formula）又称点火公式, 处理的是区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上 $\sin^n x$ 或 $\cos^n x$ 的定积分. 结论如下：

\int_0^{\pi/2} \sin^n x\, dx = \int_0^{\pi/2} \cos^n x\, dx = \begin{cases} \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}, & n\text{ 为偶数}\\[6pt] \frac{(n-1)!!}{n!!}, & n\text{ 为奇数} \end{cases}

结合之前的众多方法后, 有时会残留一些阶很高的 $\sin$ 和 $\cos$ 被恶心, 如果是不定积分一般要用各种降阶互换凑微分, 但定积分的话, 我们可以通过移动区间、奇偶性等物理手段移动到 $0,\frac{\pi}{2}$ 区间内, 然后秒杀.

华里士公式本质上来自分部积分法： $\int_0^{\pi/2} \sin^n x\, dx = \frac{n-1}{n} \int_0^{\pi/2} \sin^{n-2} x\, dx$ , 递推到底即得到上述连乘积.

分部积分法#

这是求积分的基本方法之一

分部积分法做法本身简单不提。我草纸上一般会这么写：

\begin{align*} &=\int \textcolor{aqua}{ \ln x } \, \textcolor{orange}{ dx } \qquad \begin{cases} \textcolor{aqua}{ u = \ln x },& \textcolor{orange}{ dv = dx } \\ \textcolor{cornflowerblue}{ du = \frac{1}{x} dx },& \textcolor{yellow}{ v = x } \end{cases} \\ &= uv - \int v \, du \\ &= x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx \\ &= x \ln x - \int 1 \, dx \\ &= x \ln x - x + C. \end{align*}

分部积分法本身来源于乘积求导 $(uv)' = u'v + uv'$ 的两边积分与移项, 得到 $\int u\, dv = uv - \int v\, du$ . 我们的关注点在于如何选择合适的 $u$ 和 $v$ .

有一条广为流传的经验法则叫反对幂指三(反三角>对数>多项式>指数>三角)，即越靠前的函数越倾向选为 $u$ .

对数(如 $\ln x$ )和反三角(如 $\arctan x$ )的导数都是代数函数, 变为 $du$ 后它们会凭空消失。净降低复杂度, 好.
多项式越导越小. 只要作为另一部分的 $dv$ 还能积, 就可以选择多项式. 例如 $\int x e^x dx$ 选 $u = x$ .
指数函数( $e^{x}$ )和三角函数的积分完全不会降低难度.

循环移项#

这是一种在分部积分法之上，常见的不易察觉的终结式

当对某些积分使用分部积分法时, 会出现情况如连续两次分部之后, 新积分恰好等于原来的积分（或与之成比例）, 此时方程中出现了”积分 = 表达式 - 积分”的形式, 将其视为未知数移到等号同侧, 即可解出积分值. 一般我们设原积分为 $I$ 便于后续计算.

刚才说过反对幂指三法则中指数函数和三角函数作 $u$ 无法简化, 因为求一次或两次导之后还是它们自身. 如果没有对数或者反三角, 我们就可以利用这种模式构造循环移项, 如 $\int e^{x}\sin x\, dx$ 两次分部后 $\sin$ 又变回 $\sin$ .

定积分同样适用, 将 $I$ 视为定积分的值（一个数）, 分部积分时上下限照常代入, 解出的方程直接给出 $I$ 的数值, 不再涉及 $+C$ .

[27330: 96]

升降幂积分#

这是一种被分部积分法知识点覆盖，但过于常见又不易察觉的方法

升降幂这个名字是我自己起的。这种技巧似乎没有统一正式常用的名字，但这个方法是实实在在非常常用。

这个方法我在第一个数学笔记里说过，此处完整重新介绍一番：

升降幂积分其实就是分部积分法的两种特殊形式，对应 $\textcolor{orange}{ dv=dx }$ 和 $\textcolor{aqua}{ u=x }$ 的情况。

升幂： 适用于 $f(x)$ 积不动但导数很简单的函数（如 $\ln x, \arctan x$ ）.

\int \textcolor{aqua}{ f(x) } \,\textcolor{orange}{ \mathrm{d}x } = \textcolor{yellow}{ x } \textcolor{aqua}{ f(x) } - \int \textcolor{yellow}{ x } \textcolor{cornflowerblue}{ f'(x)\,\mathrm{d}x }

降幂： 适用于 $f(x)$ 积得动, 但前面的 $x$ 很碍事的情况（如 $x \cos x$ ）.

\int \textcolor{aqua}{ x } \textcolor{orange}{ f(x) \,\mathrm{d}x } = \textcolor{aqua}{ x } \textcolor{yellow}{ F(x) } - \int \textcolor{yellow}{ F(x) } \textcolor{cornflowerblue}{ \,\mathrm{d}x } \quad (\text{其中 } F'(x) = f(x))

这些特殊形式在 $f(x)$ 看起来很整体而坚固的时候用有奇效，可惜我经常想不起来用分部。你一定要想起来用啊！

伽马函数#

这是一种被分部积分法知识点覆盖，但略常见的考点，作为快捷方法使用

伽马函数 $\Gamma(z)$ 是阶乘向实数和复数域的推广. 其最常用的积分定义为 $\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,dt$ , 定义域为 $\operatorname{Re}(z) > 0$ . 复数的定义域和一些乱七八糟的其实并不重要, 我们主要观察非负整数 $n$ 下, 有：

\int_0^\infty x^{n} e^{-x}\,dx = \Gamma(n+1) = n!

这是它被称为”广义阶乘”的原因. 再有递推关系为 $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$ , 分部积分一步可得.

对于我们今天说的积分计算而言, 伽马函数的最大价值在于它能直接吞掉形如 $\int_0^\infty x^a e^{-bx^c}\,dx$ 的积分. 通过换元 $t = bx^c$ , 这类积分可以统一化为伽马函数的标准形式.

我们当年算 $\int_0^\infty x^{n} e^{-x}\,dx$ 可是要 $n$ 次分部积分的，你告诉我等于 $n$ ！

除了整数, 另一个极为重要的特殊值是 $\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$ . 本质上，这就是高斯积分 $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}$ 的另一种写法, 然后通过递推式我们又可以得知 $\Gamma(\frac{3}{2})$ 等值.

考场上, 如果题目中出现 $\int_0^\infty x^n e^{-ax}\,dx$ 且 $n$ 较大, 直接用伽马函数 $\frac{n!}{a^{n+1}}$ 写出答案即可, 无需暴露伽马符号.

定积分的极限求和定义#

这是求极限的基本方法之一

定积分的定义本身就植根于极限：将区间 $[a, b]$ 作 $n$ 等分, 每份宽 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ , 在第 $i$ 个小区间上取代表点 $\xi_i$ （通常取左端点、右端点或中点）, 作黎曼和 $\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x$ , 当 $n \to \infty$ 时这些和的极限就是 $\int_a^b f(x)\, dx$ . 反过来, 许多以极限形式出现的求和问题, 可以通过逆用这一定义转化为定积分求解.

一般来说, 对于一个看起来可以改成积分的极限求和题, 有步骤：

将原式写成 $\lim_{ n \to \infty }\frac{1}{n}\sum_{k=0}^n \cdot f\left(\frac{k}{n}, \frac{1}{n}\right)$ , 即提取一个 $\frac{1}{n}$ 因子, 其余部分用 $\frac{k}{n}$ 和 $\frac{1}{n}$ 表示. 其中, $\frac{1}{n}$ 用于定积分本身定义, $\frac{k}{n}$ 视为, 且剩余的 $\frac{1}{n}$ 可以直接极限求得 $0$ .
令 $x = \lim_{n\to\infty} \frac{k}{n}$ （即 $k/n \to x$ ），同时令 $\frac{1}{n} \to 0$ , 得到 $f(x,0)$ .
于是极限为 $\int_0^1 f(x,0)\,dx$ .

例如：

\begin{align*} x_n &= \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{4n^2 - (2k-1)(2k)} \\ &= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} 2\sqrt{1 - \frac{k^2}{n^2} + \frac{k}{2n^2}} \\ \lim_{n\to\infty} x_n &= \textcolor{yellow}{ \lim_{n\to\infty} } \textcolor{aqua}{ \frac{1}{n} } \textcolor{yellow}{ \sum_{k=1}^{n} } 2\sqrt{1 - \left(\textcolor{lime}{\frac{k}{n}}\right)^2 + \textcolor{gray}{\frac{1}{2n}\cdot\frac{k}{n}}} \\ &= \textcolor{yellow}{ \int_0^1 } 2\sqrt{1 - \textcolor{lime}{ x }^2} \, \textcolor{aqua}{ dx } \quad \left( \textcolor{gray}{ \frac{k}{2n^2} } \to 0 \right) \\ &= 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}. \end{align*}

特别注意，部分极限求和根本没法变换成 $\lim_{ n \to \infty }\frac{1}{n}\sum_{k=0}^n \cdot f\left(\frac{k}{n}, \frac{1}{n}\right)$ ，或者强行写成这样也完全没法算（毕竟之后要积分）。所以尝试不通的话不要死磕到底……可以去试试裂项相消.

[27330: 102, 122]

莱布尼茨积分法则#

这是求导数的基本方法之一

莱布尼茨积分法则（Leibniz integral rule）是处理积分式的求导的唯一指定工具。具体来说：

\frac{d}{dx} \int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(t)\, dt = f(\psi(x)) \cdot \psi'(x) - f(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x)

当上下限为常数和 $x$ 时, 公式退化为最简单的逆运算：

\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt=f(x)

[27330: 107, 118]

完整的莱布尼茨积分法则#

这是一种标答不会使用的高阶秒杀方法

当 $f$ 与 $x$ 无关时, 最后一项中 $\frac{\partial}{\partial x} f(t,x)$ 为 $0$ , 显然积出来整体为 $0$ .

\begin{align*} \frac{d}{dx}\int_{\textcolor{yellow}{ \varphi(x) }}^{\textcolor{magenta}{ \psi(x) }} \textcolor{aqua}{ f(t,x) }\,dt =& \textcolor{fuchsia}{ f(\psi(x),x)\,\psi'(x) } \\ -& \textcolor{yellow}{ f(\varphi(x),x)\,\varphi'(x) } \\[6pt] +& \textcolor{aqua}{ \int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} \frac{\partial}{\partial x} f(t,x)\,dt } \end{align*}

选择题可以狠狠用(部分能秒)，大题并未见过标答使用，不建议直接用，建议能换元换元处理。实在没招了要用一定要写得标准，毕竟没说明确扣分，也没说明确给分，打小聪明历来都要看场合……

高斯积分#

尽管不在考纲内, 高斯积分的极坐标路径展示了一种很诡异的通过二重积分找到出路计算定积分的方法. 这种超模的方法恐怕也只有这个例子能派上用场了.

\begin{align*} I &= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx, \\ I^2 &= \left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx \right) \left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} \, dy \right) \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} \, dx\,dy. \\ &= \int_0^{2\pi} \int_0^{+\infty} e^{-r^2} \, r \, dr \, d\theta \qquad \begin{cases} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \\ dx\,dy = r\,dr\,d\theta \end{cases} \\ &= \int_0^{2\pi} \left[ -\frac{1}{2} e^{-r^2} \right]_0^{+\infty} d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \, d\theta \\ &= \pi. \\ I &= \sqrt{\pi}.\qquad s.t.\quad I > 0 \end{align*}

我个人建议背下来这个过程, 首先理解它并不难, 其次高斯积分(更多的是其变体)经常作为一种不可初等积, 明摆着让你绕道的范例方程出现在各种题里. 这些变体大多可通过简单的线性换元从标准高斯积分推导出来. 例如 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx$ 令 $t = \sqrt{a}x$ 即可；含 $e^{-ax^2+bx}$ 的积分则先配平方化为 $e^{-a(x - \frac{b}{2a})^2 + \frac{b^2}{4a}}$ 再平移积分变量.

高斯积分不是必背公式, 它更多地作为一种选择题或者大题力大砖飞的无脑救命路径出现. [27330: 124] (我当时看到答案有种救赎感, 那些秘秘变换鬼他妈能想到)

想看的话这里有一个更神的

\begin{align*} I &= \int_0^\infty \frac{\sin x}{x} \, dx \\ &= \int_0^\infty \sin x \left( \int_0^\infty e^{-xt} \, dt \right) dx \\ &= \int_0^\infty \int_0^\infty e^{-xt} \sin x \, dt \, dx \\[6pt] I &= \int_0^\infty \left( \int_0^\infty e^{-xt} \sin x \, dx \right) dt. \\ \int_0^\infty e^{-xt} \sin x \, dx &= \left[ -e^{-xt} \frac{t\sin x + \cos x}{t^2 + 1} \right]_{x=0}^{x \to \infty} \\ &= 0 - \left( -\frac{1}{t^2+1} \right) \\ &= \frac{1}{t^2+1}. \\ I &= \int_0^\infty \frac{1}{t^2+1} \, dt \\ &= \left[ \arctan t \right]_0^\infty \\ &= \frac{\pi}{2} \end{align*}

不可初等积的函数一览#

这里的不可初等积特指原函数不能用初等函数表示, 即非初等积分, 即不存在由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数及其有限次四则运算和复合所构成的函数, 使其导数等于被积函数.

注意这与定积分不存在（不可积）是不同的概念. 很多初等不可积的函数, 其定积分仍然存在且可通过数值方法或特殊函数表示.

常见的初等不可积函数有：

积分式 $\int f(x)\, dx$	简介(通通不用背，看个乐呵即可)
$\int e^{-x^2} dx$	误差函数 $\operatorname{erf}(x)$
$\int e^{x^2} dx$	虚误差函数 $\operatorname{erfi}(x)$ , $\operatorname{erfi}(x) = -i\operatorname{erf}(ix)$
$\int \frac{e^{-x}}{x} dx$	指数积分 $\operatorname{Ei}(x)$ 或 $E_1(x)$
$\int \frac{e^{x}}{x} dx$	指数积分 $\operatorname{Ei}(x)$ , 上者的变体
$\int \frac{1}{\ln x} dx$	对数积分 $\operatorname{li}(x)$
$\int \ln(\ln x) dx$	可用对数积分 $\operatorname{li}(x)$ 表示
$\int \frac{\sin x}{x} dx$	正弦积分 $\operatorname{Si}(x)$
$\int \frac{\cos x}{x} dx$	余弦积分 $\operatorname{Ci}(x)$ , 与 $\operatorname{Si}(x)$ 成对出现
$\int \sin(x^2) dx$	菲涅尔积分 $S(x)$
$\int \cos(x^2) dx$	菲涅尔积分 $C(x)$
$\int R\big(x, \sqrt{ax^3+bx^2+cx+d}\big) dx$	椭圆积分(第一/二/三类).
$\int x^x dx$	Sophomore’s dream
$\int e^{e^x} dx$	可化为指数积分 $\operatorname{Ei}(e^x)$
$\int \sin(\sin x) dx$	雅可比-安古尔展开
$\int \cos(\sin x) dx$	换成coscosx,sincosx也一样的
$\int \sqrt{\cos x} dx$	第二类椭圆积分。非初等（与 $1/\sqrt{\cos x}$ 同类但不同阶）。
$\int \frac{\sin x}{\ln x} dx$	-
$\int \frac{e^x}{\sin x} dx$	-

了解哪些函数积不出来的实用价值在于, 当你在考场上发现被积函数在这份清单上, 就该立刻回头审题, 很可能题目的本意不是让你直接积它, 而是要你用夹逼、互减、奇偶性、换元等间接手段处理它, 便于控制考试节奏, 避免无效劳动.

特别提醒#

不定积分，要 $+C$

定积分换元，要换限

变限积分求导，要乘以上下限的导

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